Zbiór Cantora.html

Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883^[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henryego Smitha^[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi $\aleph_0$ ).

edytuj Definicje

edytuj Podstawowa konstrukcja

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego $C 0 : = [0,1]$ liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $\langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle$ takich, że

$(\otimes)_n$ zbiór

C n

jest sumą

2 n

rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór

C 0

to odcinek

[0,1]

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek $(\otimes)_0$ ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór

C n

tak, że jest on jest sumą

2 n

rozłącznych odcinków domkniętych (tzn spełnia $(\otimes)_n$ ). Każdy z

2 n

odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru

C n

wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc $C_{n+1}=C_n\setminus (I_1\cup\ldots \cup I_{2^n})$ (gdzie $I_1,\ldots,I_{2^n}$ to "środkowe" odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór

C n + 1

jest sumą

2 n + 1

rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek $(\otimes)_{n+1}$ jest spełniony).

Zbiory C₀, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ i C₆

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg $\langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle$ jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

$C:=\bigcap^{\infty}_{n=0}C_n$ .

edytuj Alternatywna definicja

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywitych mających postać:

$\sum^{\infty}_{i=1}\frac{a_{i}}{3^i}$

gdzie $a_i \in \{0, 2\}$ . Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału $[0,1]$ , dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

edytuj Modyfikacje konstrukcji

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory $C n$ , tak że każdy z nich jest sumą $2 n$ rozłącznych odcinków domkniętych długości $\left(\tfrac{1}{3}\right)^n$ . Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory $C n + 1$ wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na $C n$ ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $\langle D_0,D_1,D_2,\ldots\rangle$ tak, że każdy zbiór $D n$ jest sumą $2 n$ rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

D 0 = [0,1]

Następnie, przpuśćmy że zbiór $D n$ jest już wyznaczony i jest on sumą $2 n$ rozłącznych odcinków domkniętych, $D_n=I_1\cup\ldots\cup I_{2^n}$ . W centrum każdego z odcinków $I k$ wybieramy otwarty pododcinek $J k$ długości $| J k | = 2 - 2(n + 1)$ . Kładziemy $D_{n+1}=D_n\setminus (J_1\cup\ldots\cup J_{2^n})$ .

Zbiory D₀, D₁, D₂, D₃, D₄, D₅

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

$D:=\bigcap^{\infty}_{n=0}D_n$ .

edytuj Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora $C$ :

jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn nie ma punktów izolowanych),
jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka $[0,1]$ ,
jest nieprzeliczalny,
jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue'a),
jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów $P_1, P_2, \dots$ domknięto-otwartych i takich, że $\lim{\rm diam}(P_n) = 0$ . W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych ${0,1}$ .

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

$\frac{\ln 2}{\ln 3} = 0,630929754...$

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue'a zero - poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary. Na przykład, opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora $D$ ma miarę 1/2 (ale jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue'a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jest mocy $2^{\mathfrak{c}}$ .

edytuj Zbiór Cantora w szerszym sensie

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryczna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryczna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

edytuj Zobacz też

Przypisy

↑ Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, "Acta Mathematica" 4 (1884), strony 381-392.
↑ Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ISBN 1-55786-1064. Strona 121