Współrzędne biegunowe

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Spis treści

1 Definicja
2 Rys historyczny
3 Związek z systemem kartezjańskim
- 3.1 Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego
- 3.2 Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego
4 Krzywe w układzie biegunowym
5 Liczby zespolone
6 Zobacz też
7 Przypisy

edytuj Definicja

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje^[1]:

promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna
amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem $\overrightarrow{OP}$

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe $(0,0)$ . O amplitudzie możemy zakładać, że $0\leq \varphi<2\pi$ (niektórzy autorzy przyjmują $-\pi< \varphi\leq \pi$ ).

edytuj Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge'a^[2] pierwszeństwo w używaniu tego systemu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

Cavalieri^[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym "obrotem").
W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobną metodę użył szkocki matematyk James Gregory.
Isaac Newton^[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

edytuj Związek z systemem kartezjańskim

Wykres ilustrujący związek systemów polarnego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański $O X Y$ oraz układ biegunowy z biegunem $O$ i osią biegunową $O X$ .

edytuj Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego $r\ge 0$ i amplitudy $\varphi\in [0,2\pi)$ punktu P, jego współrzędne kartezjańskie określa:

$x=r\cdot\cos\varphi$

$y=r\cdot\sin\varphi$

Jakobian przejścia wynosi

$\frac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right|$ $= r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r$

edytuj Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego

Rozważmy punkt którego współrzędne kartezjańskie są $(x, y)$ . Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Jeśli $r\neq 0$ , to amplituda $\varphi$ tego punktu jest dana przez:

$\varphi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 \end{cases}$

gdzie $\operatorname{arctg}$ oznacza funkcję arcus tangens.

edytuj Krzywe w układzie biegunowym

Dla szeregu krzywych algebraicznych, ich równania przedstawione w systemie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

edytuj Okrąg

Okrąg o równaniu

r = 1

Okrąg o środku w punkcie $(r_0,\varphi_0)$ i promieniu $a > 0$ jest opisany przez równanie

$r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \varphi_0) + r_0^2 = a^2.$

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

r = a

edytuj Róża

Róża o równaniu $r=2\sin(4\varphi)$

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

$r= a \cos (k\varphi + \varphi_0)$ ,

gdzie $\varphi_0$ jest dowolną stałą, $a$ jest parametrem wyznaczającym długość "płatków" róży, a $k$ jest parametrem wyznaczającym ilość i formę "płatków" róży. Jeśli k jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała k płatków, a jeśli k jest parzystą liczbą całkowitą to róża będzie miałą $2 k$ płatków. Dla innych wartości k kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

edytuj Spirala Archimedesa

Jedno ramie spirali Archimedesa o równaniu $r=\varphi$ dla $0<\varphi<6\pi$

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

$r = a+b\varphi.$

Parametry $a, b$ w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

edytuj Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

$\varphi = \varphi_0$ ,

gdzie $\varphi_0$ to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

$\varphi = \varphi_0$

i przecina ją w punkcie $(r_0,\varphi_0)$ , zadana jest przez równanie

$r= r_0\sec(\varphi-\varphi_0)$ .

edytuj Liczby zespolone

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

$z = x + iy\,$

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw postać trygonometryczną liczby zespolonej $z$ :

$z = r\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$ .

(Powyżej, $r$ to moduł liczby $z$ , a $\varphi$ to jej argument.)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

$z = re^{i\varphi} \,$

gdzie e to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

$r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,$
$\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,$
$(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,$

edytuj Zobacz też

Przypisy

↑ Leja, Franciszek: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
↑ Coolidge, Julian: The Origin of Polar Coordinates. "The American Mathematical Monthly" 59 (1952), strony 78-85.
↑ Cavalieri, Bonaventura: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.)
↑ Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671.)