Układ wielki kanoniczny.html

Układ wielki kanoniczny, zespół wielki kanoniczny to pojęcie z fizyki statystycznej.

Jest to układ termodynamiczny spełniający następujące warunki:

ma kontakt z termostatem tj. jest podukładem układu o stałej temperaturze
ma kontakt z zasobnikem masy (może wymieniać cząstki z otoczeniem)
ma stałą objętość $\left( \frac{\partial V}{\partial t}=0 \right)$

edytuj Wielka suma statystyczna

$\Xi = \sum_{N=1}^{ \infty }{ \int{e^{-\frac{H - \mu N}{kT}}}\;d{\Gamma_N}} = \sum_{N=1}^{\infty} {e^{\frac{\mu N}{kT}} \int{e^{-\frac{H}{kT}}}\;d{\Gamma_N}}$

ale:

$z = e^{\frac{\mu}{kT}}$ - aktywność

$Z_N = \int{ e^{ -\frac{H}{kT} }\;d{\Gamma_N} }$ - suma kanoniczna układu N cząstek

to:

$\Xi = \sum_{N=1}^{ \infty }{z^N Z_N}$

gdzie:

$d{\Gamma_N} = \frac { d^N{\vec{r}}d^N{\vec{p}} } { N! h^{3N}}$

H - Hamiltonian całego układu

k - stała Boltzmana

T - temperatura układu (, która jest równa temperaturze otoczenia)

μ

- potencjał chemiczny

edytuj Prawdopodobieństwo mikrostantów

Prawdopodobieństwo stanu układu i-tego o energii $E i$ i ilości cząstek N wynosi:

$p_i = \frac {e^{-\frac{E_i - \mu N}{kT}} } {\Xi}$

edytuj Związek z termodynamiką

W układzie wielkim kanonicznym definiujemy wielki potencjał kanoniczny (Ω):

$\Omega = F - \mu N = - k T \ln ( \Xi ) \,$

$d\Omega = - p dV - S dT - N d\mu \,$

więc:

$p = - { \left( \frac{\partial \Omega}{\partial V} \right) }_{T, \mu}$ - ciśnienie

$S = - { \left( \frac{\partial \Omega}{\partial T} \right) }_{V, \mu}$ - entropia

$<N> = - { \left( \frac{\partial \Omega}{\partial \mu} \right) }_{T,V}$ - średnia liczba cząstek

Dodatkowo:

$U = \frac{1}{\Xi} \sum_{N=0}^\infty {z^N \sum_{i=0}^N {E_{iN} e^{-\beta E_IN}}}$

czyli

$U = - \left( \frac{\partial }{\partial \beta} \ln(\Xi)\, \right)_{V, \mu}$

Dla gazu doskonałego $Ω = - p V$

edytuj Zobacz też

układ mikrokanoniczny, układ kanoniczny

Termodynamika statystyczna