Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw.html



Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Breadth-first search Depth-first search Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego

edytuj ten szablon

Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw - przypisywane zazwyczaj Philipowi Hallowi twierdzenie dotyczące istnienia pełnego skojarzenia grafu dwudzielnego, sformuowane w roku 1935. Jest ono często ilustrowane poprzez przedstawienie następującego problemu:

Mamy dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz pewną sieć znajomości, to znaczy wiemy, których chłopców z tej grupy zna każda z dziewczyn. Kiedy zachodzi sytuacja, w której każdej dziewczynie można przyporządkować jednego kandydata na męża? Oczywiście, tacy kandydaci nie mogą się powtarzać.

Rozwiązanie tak postawionego problemu nosi nazwę twierdzenia o kojarzeniu małżeństw.

Okazuje się, ze warunkiem konieczym i warunkiem wystarczającym na to, by istniało takie skojarzenie par, jest to, by każda podgrupa dziewcząt, licząca k-osób, znała co najmniej k-chłopców.

edytuj Twierdzenie

Twierdzenie można przełożyć na język matematyki na kilka sposobów:

edytuj Wersja dla grafów

Niech G = (V,E) będzie grafem, i niech będą rozłącznymi podzbiorami zbioru wierzchołków, , takimi, że jeśli e jest dowolną krawędzią grafu i e = {v,u}, to spełniony jest warunek

,

czyli graf G jest grafem dwudzielnym. Wówczas w tym grafie istnieje skojarzenie, którego krawędzie są incydentne ze wszystkimi wierzchołkami z V₁ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru wierzchołków zachodzi nierówność

,

gdzie W jest zbiorem wierzchołków należących do V₂ i mających wspólną krawędź z wierzchołkiem z K

Jeżeli moce zbiorów K,W są równe, to takie skojarzenie jest pełne (doskonałe).

edytuj Wersja dla transwersal

Twierdzenie Halla dla transwersal mówi, że dla rodziny R istnieje transwersala wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej k-elementowej podrodziny rodziny R mnogościowa suma wszystkich składowych tej podrodziny ma k lub więcej elementów.

dla każdego .

edytuj Dowód

Podany dowód jest sformułowany dla transwersal, dla grafów jest on analogiczny.

Oczywiste jest, iż jest to warunek konieczny, bowiem gdyby nie był on spełniony i suma mnogościowa pewnej elementów pewnej rodziny zbiorów miała mniej niż k-elementów, to nie byłoby możliwe wybranie k-elementowego podzbioru złożonego z elementów tej sumy.

Wystarczalność warunku można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej. Przez n oznaczę ilość podzbiorów zbioru . Zauważmy, że dla n = 1 twierdzenie jest prawdziwe, bowiem można wybrać jeden dowolny element z S₁. Niech n > 1. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla .

Jeżeli dla danego n mnogościowa suma zbiorów ma więcej niż n elementów, to twierdzenie jest prawdziwe, wystarcz bowiem wybrać dowolny element k zbioru , utworzyć transwersalę dla n-1-elementowej rodziny zbiorów (co jest możliwe na mocy założenia indukcyjnego) oraz dołączyć do niej element k.

W przeciwnym wypadku istnieje pewien podzbiór J (właściwy) zbioru taki, że suma mnogościowa wszystkich elementów zbiorów jest równa ilości elementów zbioru J. Wybierzmy teraz transwersalę dla rodziny oraz rodziny , gdzie , zaś . Dla obu rodzin na mocy założenia indukcyjnego istnieją transwersale, i są one rozłączne, co wynika z powyższych warunków. Poszukiwaną transwersalą jest więc zbiór, będący sumą tych transwersal.

edytuj Zobacz też

• graf dwudzielny