Twierdzenie Hahna-Banacha.html

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Spis treści

1 Twierdzenie
- 1.1 Sformułowanie
- 1.2 Uwagi o dowodzie
2 Wnioski
3 Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha
- 3.1 Twierdzenie Kreina
4 Bibliografia
5 Przypisy
6 Zobacz też

edytuj Twierdzenie

edytuj Sformułowanie

Przypuśćmy, że

(a)

X

jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ ,

(b) $p\colon X\to {\mathbb R}$ jest funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ dla wszystkich $x,y\in X$ ,

p (α x) = α p (x)

dla wszystkich $\alpha \in [0,\infty)$ oraz $x\in X$ ,

(c)

M

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni

X

(d) $\varphi\colon M \to {\mathbb R}$ jest odwzorowaniem liniowym takim, że

$\varphi(x)\leq p(x)$ dla wszystkich $x\in M$ .

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy $\Phi\colon X\to{\mathbb R}$ taki, że

$\Phi(x)=\varphi(x)$ dla $x\in M$

oraz

$\Phi(x)\leq p(x)$ dla $x\in X$ .

edytuj Uwagi o dowodzie

Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 były właśnie indukcyjne).
Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego^[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

edytuj Wnioski

Jeżeli $X$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał $p\colon X\to\mathbb{R}$ spełnia warunek (b), to dla każdego $x_0\in X$ istnieje taki funkcjonał liniowy $f\colon X\to \mathbb{R}$ , że $f (x 0) = p (x 0)$ oraz $f(x)\leq p(x)$ dla $x\in X$ .
Załóżmy, że

(a)

X

jest przestrzenią liniową nad ciałem ${\mathbb K}$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a $p\colon X\longrightarrow [0,\infty)$ jest półnormą,

(b) $M\subseteq X$ jest podprzestrzenią liniową, oraz $\varphi_0\colon M \to {\mathbb K}$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

$|\varphi_0(x)|\leq p(x)$ dla wszystkich $x\in M$ .

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy $\varphi\colon X\to{\mathbb K}$ taki, że $\varphi|_M=\varphi_0$ oraz

$|\varphi(x)|\leq p(x)$ dla wszystkich $x\in X$ .

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej podprzestrzenią liniową oraz $x^* \in M^*$ , to istnieje $y^*\in X^*$ taki, że

y * | M = x *

oraz $\|x^*\|=\|y^*\|$ .

Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli $X$ jest niezdegenrowaną przestrzenią unormowaną oraz $x\in X\setminus \{0\}$ , to $\|x\|=x^* x$ dla pewnego $x^*\in X^*$ takiego, że $\|x^*\|= 1$ . Ponadto

$\|x\|=\sup\big\{|x^* x|\colon\,x^*\in X^*\, , \|x^*\|= 1\big\}$ .

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz $x\in X\setminus M$ , to istnieje $x^*\in X^*$ taki, że

$f(x)=1,\; x^*|_M\equiv 0$ oraz $\|x^*\|=\tfrac{1}{{\rm dist}(x,M)}$ .

Twierdzenia o oddzielaniu.
Stosując twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.

edytuj Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

edytuj Twierdzenie Kreina

Niech $P$ będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o niepustym wnętrzu. Jeżeli $M$ jest podprzestrznią liniową przestrzeni $X$ oraz $\varphi_0\colon M\to \mathbb{R}$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

$\varphi_0(M\cap P)\subseteq [0,\infty)$ ,

to istnieje funkcjonał liniowy $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ taki, że

$\varphi|_M=\varphi_0$