Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera.html

Ten artykuł dotyczy twierdzenia o zbiorach równolicznych. Zobacz też: inne Twierdzenia Cantora.

Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera to twierdzenie teorii mnogości, głoszące, że jeśli zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru B oraz zbiór B jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru A, to zbiory A i B są równoliczne.

Dla zbiorów $A, B$ napiszemy że $|A|\leq |B|$ ilekroć zbiór A jest równoliczny z jakimś podzbiorem zbioru B. Przy tych oznaczeniach możemy wyrazić twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera w następujący sposób symboliczny:

jeśli $|A| \leq |B|$ oraz $|B| \leq |A|$ to

| B | = | A |

Formułując jeszcze inaczej, twierdzenie to wyraża słabą antysymetrię relacji porządku na liczbach kardynalnych:

$\mathbf{n} \leq \mathbf{m} \and \mathbf{m} \leq \mathbf{n}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{m}=\mathbf{n}$ .

Spis treści

1 Historia i źródła
2 Dowód I
- 2.1 Lemat
- 2.2 Dowód twierdzenia
3 Dowód II (Banach, Tarski)
4 Przykład zastosowania
5 Bibliografia

edytuj Historia i źródła

Twierdzenie było sformułowane po raz pierwszy przez Georga Cantora w 1883 i 1895 (bez dowodu). Pierwszy kompletny dowód był podany przez Felixa Bernsteina w 1897. Inną próbę dowodu przedstawił Ernst Schröder w 1898, zawierała ona jednak lukę. W literaturze matematycznej istnieje szereg różnych dowodów tego twierdzenia, te z początkowego okresu rozwoju teorii mnogości albo wymagały dodatkowych założeń, albo były niepełne albo bardzo skomplikowane. Dla bardziej kompletnej dyskusji historii tego twierdzenia oraz przeglądu różnych dowodów odsyłamy czytelnika do publikacji Zdzisława Skupienia^[1]^[2] (zobacz też Jerzy Mioduszewski^[3]) oraz artykułu R. Mańki i Agnieszki Wojciechowskiej^[4]

edytuj Dowód I

Udowodnimy najpierw następujący lemat.

edytuj Lemat

Jeżeli $C\subseteq B\subseteq A$ oraz $| A | = | C |$ , to $| A | = | B |$ .

Dowód lematu:

Przypuśćmy, że $C\subseteq B\subseteq A$ oraz zbiór A jest równoliczny z C. Zatem możemy ustalić bijekcję $f: A \longrightarrow C$ .

Naszym celem jest skonstruowanie bijekcji ze zbioru A na B. Poniżej, obraz zbioru $X\subseteq A$ przez funkcję f jest oznaczany przez $f X$ (tak więc $f[X]=\{f(x):x\in X\}$ ).

Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg zbiorów:

$Z_0=B\setminus C,\quad Z_{n+1}=f[Z_n].$

Łatwo zauważyć, że $Z_n\subseteq B$ dla wszystkich $n=0,1,2,\ldots$ . Połóżmy $Z=\bigcup\limits_{n=0}^\infty Z_n \subseteq B$ i zdefiniujmy funkcję $g: A \longrightarrow B$ w następujący sposób:

$g(x) = \left\{\begin{array}{ll}f(x) &{\rm dla}\ x\in A\setminus Z \\ x &{\rm dla}\ x\in Z\end{array}\right.$

Powyższa formuła poprawnie definiuje funkcję z A w B i naszym celem jest wykazanie że jest ona bijekcją (z A na B).

Pokażmy najpierw że g jest różnowartościowa. W tym celu załóżmy że $x_1 \neq x_2$ są elementami zbioru A. Dowodzimy, że $g(x_1)\neq g(x_2)$ rozważając 4 przypadki.

(i) Jeśli $x_1, x_2\in Z$ , to $g(x_1)=x_1\neq x_2=g(x_2)$ .

(ii) Jeśli $x_1, x_2\notin Z$ , to $g(x_1)=f(x_1)\neq f(x_2)=g(x_2)$ , co wynika z różnowartościowości funkcji f.

(iii) Przypuśćmy teraz że $x_1\in Z$ ale $x_2\notin Z$ . Załóżmy nie wprost, że

g (x 1) = g (x 2)

. Zauważmy, że w aktualnym przypadku mamy

g (x 1) = x 1

oraz

g (x 2) = f (x 2)

, a więc $f(x_2)=x_1\in Z$ . Stąd $f(x_2)\in Z_n$ dla pewnego $n\in {\mathbb N}$ . Jeżeli teraz

n = 0

, czyli $f(x_2)\in Z_0$ , to $f(x_2) \in B\setminus C$ czyli w szczególności $f(x_2)\notin C$ . Jednak funkcja f była bijekcją na zbiór C, zatem otrzymaliśmy sprzeczność. Rozważmy teraz przypadek gdy

n > 0

. Wówczas $f(x_2) \in Z_n=f[Z_{n-1}]$ a zatem dla pewnego $z \in Z_{n-1}$ mamy

f (x 2) = f (z)

. Ponieważ f jest różnowartościowa otrzymujemy

x 2 = z

a stąd $x_2 \in Z_{n-1}$ . Oczywiście jest to sprzeczne z założeniem że $x_2 \notin Z$ czyli uzyskaliśmy sprzeczność i w tym przypadku.

(iv) Jeśli $x_1\notin Z$ ale $x_2\in Z$ , to argumentacja identyczna z przedstawioną w (iii) dowodzi, że $g(x_1)\neq g(x_2)$ .

A zatem z (i)-(iv) wynika że funkcja g jest różnowarościowa.

Ostatnim krokiem dowodu lematu jest pokazanie, że funkcja $g:A\longrightarrow B$ jest suriekcją, czyli że $g A = B$ .

Wiemy że $Z\subseteq B\subseteq A$ . Mamy zatem:

$g[A]=g[(A\setminus Z) \cup Z] = g[A\setminus Z]\cup g[Z] =$

$f[A\setminus Z] \cup Z = f[A\setminus Z]\cup Z_0 \cup \bigcup\limits_{n=0}^\infty Z_{n+1} =$

$f[A\setminus Z] \cup (B\setminus C) \cup \bigcup\limits_{n=0}^\infty f[Z_n]= f[A\setminus Z] \cup (B\setminus C) \cup f\big[\bigcup\limits_{n=0}^\infty Z_n\big]=$

$f[A\setminus Z] \cup (B\setminus C) \cup f[Z]=f[A] \cup (B\setminus C)=C \cup (B\setminus C)= B$

Wykazaliśmy zatem prawdziwość lematu.

edytuj Dowód twierdzenia

Aby udowodnić twierdzenie, przypuśćmy że zbiór X jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru Y oraz zbiór X jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru Y. Zatem możemy znaleźć funkcje różnowartościowe $f:X\longrightarrow Y$ oraz $g:Y\longrightarrow X$ . Połóżmy $A=X,\ B=g[Y]$ oraz $C=g\big[f[X]\big]$ . Wówczas zbiory A, B, C spełniają założenia lematu, więc możemy wywnioskować iż zbiory $A = X$ i B są równoliczne. Ponieważ zbiory B i Y są równoliczne (o czym świadczy np funkcja g) otrzymujemy że zbiory X i Y są równoliczne.

edytuj Dowód II (Banach, Tarski)

Poniżej, rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X jest oznaczana przez $2 X$ .

edytuj Definicja

Niech będą dane zbiory X, Y. Powiemy, że funkcja $\varphi: 2^X \rightarrow 2^Y$ jest monotoniczna jeśli dla każdych zbiorów $A,B\in 2^X$ takich że $A \subseteq B$ zachodzi $\varphi(A)\subseteq \varphi(B)$ .

edytuj Lemat A

Niech X będzie zbiorem oraz niech $\varphi: 2^X \rightarrow 2^X$ będzie funkcją monotoniczną. Wówczas odwzorowanie $\varphi$ ma punkt stały D (to znaczy istnieje $D\in 2^X$ takie że $\varphi(D)=D$ ).

Dowód lematu

Zdefiniujmy rodzinę zbiorów $\mathcal{D}=\{A\subseteq X: A \subseteq \varphi(A)\}$ . Twierdzimy, że suma $D=\bigcup_{A \in\mathcal{D}} A$ tej rodziny jest punktem stałym odwzorowania $\varphi$ . Aby się o tym przekonać zauważmy, iż dla każdego $A \in\mathcal{D}$ zachodzi $A\subseteq D$ , więc z monotoniczności $\varphi$ wynika, że $\varphi(A) \subseteq\varphi(D)$ . Zatem $\bigcup_{A \in \mathcal{D}} A\subseteq\bigcup_{A\in\mathcal{D}}\varphi(A)\subseteq\varphi(D)$ a stąd $D\subseteq\varphi(D)$ .

Korzystając kolejny raz z monotoniczności dostajemy $\varphi(D) \subseteq \varphi(\varphi(D))$ więc $\varphi(D) \in \mathcal{D}$ . Wobec tego $\varphi(D)$ musi zawierać się w sumie rodziny $\mathcal{D}$ , czyli $\varphi(D) \subseteq D$ .

Zachodzą więc obie inkluzje $D \subseteq \varphi(D)$ i $\phi(D) \subseteq D$ , więc D jest punktem stałym odwzorowania $\varphi$ .

edytuj Lemat B

Niech będą dane zbiory X, Y i funkcje $f: X \rightarrow Y$ , $g: Y \rightarrow X$ . Wówczas odwzorowanie

$\varphi: 2^X \rightarrow 2^X:A \mapsto \phi(A) = X-g[Y-f[A]]$

jest monotoniczne.

Dowód lematu

Niech $A \subseteq B\subseteq X$ . Wówczas $f[A] \subseteq f[B]$ , więc $Y-f[A] \supseteq Y-f[B]$ i $g[Y-f[A]]\supseteq g[Y-f[B]]$ . Zatem:

$X-g[Y-f[A]] \subseteq X-g[Y-f[B]]$ .

Czyli z definicji funkcji $\varphi$ , $\varphi(A) \subseteq \varphi(B)$ .

edytuj Dowód twierdzenia

Niech X i Y spełniają założenia twierdzenia i niech $f: X \longrightarrow Y$ oraz $g: Y \longrightarrow X$ będą funkcjami różnowartościowymi. Zdefiniujmy odwzorowanie $\varphi$ jak w lemacie B:

$\varphi: 2^X \longrightarrow 2^X:A \mapsto \varphi(A) = X-g[Y-f[A]]$ .

Wówczas na mocy lematu B jest to funkcja monotoniczna, a zatem z lematu A wynika istnienie zbioru D takiego, że $\varphi(D) = D$ , co zachodzi gdy $D = X - g Y - f D]$ . Czyli:

X - D = g Y - f D]

Ponieważ g jest iniekcją możemy zdefiniować funkcję $h:X\longrightarrow Y$ w następujący sposób:

$h(x) = \left\{\begin{array}{l} g^{-1}(x) \qquad x \in X-D \\ f(x) \qquad x \in D\end{array}\right.$

Suriektywność tego odwzorowania wykazuje się bardzo prosto. Istotnie,

$h[X] = h[D] \cup h[X-D] = f[D] \cup (Y - f[D]) = Y$ .

Aby wykazać iniektywność h należy wziąć dwa elementy $x \in D$ i $y \in X-D$ i pokazać, że $h(x) \neq h(y)$ (rozpatrywanie innych przypadków jest trywialne ze względu na iniektywność f i g). Pamiętając, że $X - D = g Y - f D]$ mamy iż $h(y) \in Y - f(D)$ . Jednocześnie $h(x) = f(x) \in f[D]$ , więc $h (y), h (x)$ należą do rozłącznych podzbiorów zatem nie mogą być równe. W związku z tym h jest bijekcją pomiędzy zbiorami X i Y, a co za tym idzie zbiory te są równoliczne.

edytuj Przykład zastosowania

Twierdzenie Cantora-Bernsteina pozwala na proste uzasadnienie wielu faktów teorii mocy, co bez tego twierdzenia często pociągało by konieczność przeprowadzania długich i skomplikowanych dowodów. Np. łatwo jest wykazać że dowolny przedział otwarty jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych (równoliczność tę ustala złożenie funkcji liniowej z tangensem). Z twierdzenia Cantora-Bernsteina natychmiastowo otrzymujemy że przedział domknięty również ma moc continuum bo przecież: $(a,b)\subset [a,b]\subset R$ gdzie $a < b$ .

edytuj Bibliografia

↑ Skupień, Zdzisław: Prosty dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXXV (1999), strony 49-53. pdf
↑ Skupień, Zdzisław: Twierdzenie Cantora-Bernsteina — dowody znane-nieznane, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXXIX (2003), strony 85-94. pdf
↑ Mioduszewski, Jerzy: Listy do Redakcji. W sprawie artykułu Z. Skupienia, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXXVII (2001), strony 181-182 pdf
↑ Mańka, R; Wojciechowska, Agnieszka: O dwóch twierdzeniach Cantora, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXV (1984), strony 191-198.