Twierdzenie Banacha-Steinhausa.html

edytuj Sformułowanie

Niech $Φ$ będzie rodziną ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na przestrzeni Banacha $X$ , która jest punktowo ograniczona, tj. $\forall_{x \in X}[ \sup_{\phi \in \Phi} |\phi(x)| < \infty]$ . Wówczas $Φ$ jest normowo ograniczona, tzn. $\sup_{\phi \in \Phi} \|\phi\| < \infty$ .

edytuj Dowód

Dla każdego $n \in \mathbb{N}$ określmy $G_n = \{x \in X\ |\ \exists{\phi \in \Phi} ||\phi(x)|| > n\}$ . Zbiory te są otwarte, ponieważ $G_n = \bigcup_{\phi \in \Phi} \phi^{-1}(\mathbb{F}\setminus{\bar{B}}_{\mathbb{F}}(0,n))$ , gdzie $\mathbb{F}$ oznacza ciało ( $\mathbb{R}$ lub $\mathbb{C}$ ), nad którym $X$ jest przestrzenią Banacha, zaś ${\bar{B}}_{\mathbb{F}}(0,n)$ oznacza domkniętą kulę o promieniu $n$ w tym ciele. Jej dopełnienie jest otwarte, zatem również jego przeciwobraz przy ciągłym funkcjonale $φ$ będzie otwarty. Wreszcie, otwarty będzie zbiór $G n$ jako suma teoriomnogościowa wielu takich przeciwobrazów.

Gdyby każdy ze zbiorów $G n$ był gęsty, to korzystając z twierdzenia Baire'a (założenia są spełnione, bo $X$ jest z definicji zupełna), otrzymalibyśmy, że $\bigcap_{n=1}^{\infty} G_n \neq \emptyset$ . Wówczas, biorąc (dowolny) element $x$ tego przecięcia, moglibyśmy znaleźć funkcjonały w $Φ$ , przyjmujące dowolnie w $x$ dowolnie duże wartości - wbrew założeniu.

Zatem dla pewnego $n$ zbiór $G n$ nie jest gęsty, co oznacza, że jego dopełnienie w $X$ ma niepuste wnętrze. W szczególności, zawiera pewną kulę $B$ . Oznaczmy jej środek i promień przez $x 0$ i $r 0$ . Teraz, dla dowolnego $x$ , którego norma jest mniejsza niż $r 0$ , oraz dla dowolnego $φ$ mamy $||\phi(x)|| = ||\phi(x_0 + x) - \phi(x_0)|| \leq ||\phi(x_0 + x)|| + ||\phi(x_0)|| < n + n$ , zatem $||\phi|| \leq {2n \over r_0}$ dla każdego $φ$ , co kończy dowód.