Trójki pitagorejskie.html

Tablice trójek pitagorejskich skomponowane ok. 1800 lat p.n.e. w Babilonii

Trójka pitagorejska (znane jako liczby pitagorejskie) to trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c takie, że:

$a^2+b^2=c^2\,$ (tzn. spełniające równanie Pitagorasa).

Nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność.

Poniżej kilka przykładów trójek pitagorejskich:

a	b	c
3	4	5
5	12	13
6	8	10
7	24	25
8	15	17
9	12	15

Jeżeli trójka (a,b,c) jest pitagorejska, to jest nią też (da,db,dc), dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej d. Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny podzielnik; i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

Jeśli m>n są liczbami naturalnymi, to

$a=m^2-n^2\,$

$b=2\cdot m\cdot n\,$

$c=m^2+n^2\,$

jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy, gdy m i n są względnie pierwsze i nie są jednocześnie nieparzyste. Trójki pitagorejskiej (9, 12, 15), i wielu innych, w ten sposób nie otrzymamy, ale każda trójka pierwotna (być może po zamianie a i b) powstaje tą drogą z jedynej pary liczb względnie pierwszych m>n. Stąd wniosek, że istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójek pitagorejskich.

Trójkąt, którego długości boków stanowią trójkę pitagorejską nazywany jest trójkątem pitagorejskim.

Spis treści

1 Podejście elementarne
2 Wariacja
3 Podejście zespolone poprzez liczby Gaussa
4 Podejście geometryczne
5 Zobacz też

edytuj Podejście elementarne

Kwadrat nieparzystej liczby naturalnej daje resztę 1 przy dzieleniu przez 8. Zatem suma kwadratów dwóch dowolnych liczb nieparzystych daje resztę 2 z dzielenia przez 8. Z drugiej strony, kwadrat dowolnej liczby naturalnej daje – z dzielenia przez 8 – albo 0 albo 1 albo 4. Zatem suma dwóch kwadratów nieparzystych liczb naturalnych nigdy nie jest kwadratem.

Niech a, b, c będą liczbami naturalnymi, spełniającymi równanie:

$a^2+b^2=c^2\;$

(1)

Zatem co najmniej jedna z liczb a, b, jest parzysta; zakładając ponadto, że a, b, są względnie pierwsze, otrzymujemy więcej: jedna z liczb a, b – powiedzmy a – jest nieparzysta, a druga – powiedzmy b – jest parzysta, co odtąd załóżmy aż do odwołania. Zatem c jest nieparzyste i względnie pierwsze zarówno z liczbą a, jak i z liczbą b..

Każdy wspólny dzielnik liczb naturalnych (c-a)/2 oraz (c+a)/2 jest też dzielnikiem ich sumy, równej c, oraz ich różnicy, równej a, jest więc jest równy 1 – liczby (c-a)/2 oraz (c+a)/2 są względnie pierwsze.

Równanie (1) ma dokładnie te same rozwiązania (a, b, c), co równanie:

$\frac{c - a}{2}\cdot\frac{c + a}{2} = \left( \frac{b}{2}\right) ^2$

(2)

Ponieważ liczby (c-a)/2 oraz (c+a)/2 są względnie pierwsze, to są pełnymi kwadratami pewnych liczb naturalnych m oraz n:

$\frac{c+a}{2}=m^2$

$\frac{c-a}{2}=n^2$

skąd:

$a = m^2 - n^2\;$

$b\, = 2\cdot m\cdot n$

$c = m^2 + n^2\;$

Pokazaliśmy, że dla każdego pierwotnego rozwiązania (a, b, c) równania (1) istnieją liczby naturalne m oraz n takie, że rozwiązanie (a, b, c) wyraża się poprzez m oraz n jak wyżej. Co więcej, aby otrzymać rozwiązanie pierwotne (a nie tylko dowolne), to możemy – a nawet musimy – wybrać liczby m oraz n o różnej parzystości i względnie pierwsze. Gdy to uczynimy, to ostatnie trzy równości posłużą za definicję rozwiązania pierwotnego (gdy naturalne liczby m oraz n dobierzemy łamiąc dodatkowe ograniczenia , to wciąż otrzymamy rozwiązanie, ale nie pierwotne).

edytuj Wariacja

W poprzednim fragmencie, i wciąż uznając jego założenia, zamiast równania (2), rozpatrzmy równanie

$(c-b)\cdot(c+b)=a^2\;$

(3)

Każdy wspólny dzielnik nieparzystych liczb c-b oraz c+b jest też wspólnym dzielnikiem ich sumy, równej 2•c, oraz różnicy, równej 2•b, czyli jest równy 1 lub 2 (mówimy tylko o dodatnich liczbach całkowitych; w dalszym ciągu obowiązuje założenie z poprzedniego fragmentu o względnej pierwszości liczb a, b, a więc i liczb b, c). Ale 2 nie jest podzielnikiem nieparzystych liczb c-b oraz c+b. Zatem są one względem pierwsze; więc są odpowiednio kwadratami pewnych nieparzystych, dodatnich liczb całkowitych x, y, czyli:

$a=x\cdot y\;$

$b=\frac{x^2-y^2}{2}\;$

$c=\frac{x^2+y^2}{2}\;$

Pokazaliśmy, że dla każdego rozwiązania pierwotnego (a, b, c) istnieją nieparzyste dodatnie liczby całkowite x oraz y takie, że rozwiązanie (a, b, c) określone jest przez powyższe trzy równości. Tak zadane przez nieparzyste x oraz y rozwiązanie (a, b, c) jest pierwotne wtedy i tylko wtedy, gdy x, y są względnie pierwsze.

Otrzymaliśmy nową parametryzację pierwotnych trójek pitagorejskich, nieco różną od poprzedniej.

Ogólnie, gdy liczby x, y są tej samej parzystości, to powyższa trójka równości definiuje pewną trójkę pitagorejską, niekoniecznie pierwotną. Nie otrzyma się w ten sposób trójki pitagorejskiej (6, 8, 10) i wielu innych.

edytuj Podejście zespolone poprzez liczby Gaussa

Niech i oznacza jedną z dwóch liczb zespolonych, których kwadrat jest równy -1:

$i^2=-1\;$

Liczby postaci $a + i\cdot b$ , gdzie a, b są wymiernymi liczbami całkowitymi, nazywamy liczbami Gaussa. Tworzą one pierścień Gaussa. W pierścieniu Gaussa istnieją dokładnie cztery jedności czyli liczby multiplikatywnie odwracalne:

$1, i, -1, -i\;$

(Specyficznie liczbę 1 nazywamy jedynką). Liczba sprzężona do jedności u jest jej odwrotnością 1/u.

Liczbę Gaussa nazywamy pierwszą, gdy w każdym jej rozkładzie na iloczyn dwóch liczb Gaussa jeden z czynników jest jednością. Iloczyn liczby pierwszej Gaussa przez jedność też jest liczbą pierwszą. Tak związane pary liczb pierwszych nazywamy równoważnymi. Każda liczba Gaussa, poza 0, rozkłada się na skończony iloczyn liczb pierwszych Gaussa, z dokładnością do równoważności i kolejności występowania w iloczynie.

Gdy liczba Gaussa z jest iloczynem liczb Gaussa x oraz y, to liczby x oraz y nazywamy dzielnikami liczby z (w pierścieniu Gaussa). W takim przypadku, gdy z jest przy tym liczbą wymierną (gdy ma część urojoną równą zero), to dzielnikami są także liczby Gaussa sprzężone z liczbami x oraz y, bowiem ogólnie:

$z = (a + i\cdot b) \cdot (c + i \cdot d) \; \Leftrightarrow \; z = (a - i \cdot b) \cdot (c - i \cdot d)$

gdy $a,b,c,d,z \in \mathbb{R}$

Dwie liczby Gaussa nazywamy względnie pierwszymi, gdy ich jedynymi wspólnymi podzielnikami są jedności. (Tak więc jedności i tylko jedności są względnie pierwsze z dowolną liczbą Gaussa). Dwie liczby naturalne są względnie pierwsze w klasycznym sensie (w kontekście ciała liczb wymiernych) wtedy i tylko wtedy gdy są względnie pierwsze jako liczby Gaussa (w pierścieniu liczb Gaussa).

Powróćmy teraz do równania:

$\ a^2+b^2=c^2$

(1)

gdzie a, b, oznaczają względnie pierwsze, dodatnie liczby całkowite. Zapiszmy równanie (1) równoważnie:

$\ (a-i\cdot b)\cdot(a+i\cdot b)=c^2$

(1G)

Każdy dzielnik liczb a - i•b oraz a + i•b jest też dzielnikiem ich sumy 2•a oraz różnicy 2•i•b, a więc liczby 2. Zakładając, jak we wcześniejszych fragmentach, że (a, b, c) jest rozwiązaniem pierwotnym, liczby a oraz b są ponadto różnej parzystości, więc a - i•b oraz a + i•b są względnie pierwsze. Skoro tak, to są one kwadratami liczb Gaussa, pomnożonymi przez jedność, to znaczy: istnieją liczby całkowite (wymierne) X oraz Y, oraz jedność gaussowska u (równa 1 lub i lub -1 lub -i), dla których:

$a+i\cdot b=(x+i\cdot Y)^2\cdot u$

$a-i\cdot b=(x-i\cdot Y)^2 / u$

Drugie równanie wynika z pierwszego. Chwila zastanowienia pokaże, że wystarczy rozpatrywać przypadki u=1 oraz u=i, jako że $- 1 = i 2$ oraz $-i = i \cdot i^2$ . Dla u=1 otrzymujemy:

$a=X^2-Y^2\$

$b=2\cdot X \cdot Y=2\cdot |X| \cdot |Y|$

$c=X^2+Y^2\$

Gdy u=i to otrzymujemy:

$b+i\cdot a=(X-i\cdot Y)^2$

skąd:

$a=-2\cdot X \cdot Y=2\cdot |X| \cdot |Y|$

$b=X^2-Y^2\$

$c=X^2+Y^2\$

Wprowadźmy liczby x := |X| oraz y := |Y|. Oczywiście x ≠ 0 ≠ y. Pokazaliśmy, że dla dowolnego rozwiązania pierwotnego (a, b, c) równania (1) istnieją całkowite liczby dodatnie x oraz y (wymierne), takie że odpowiednio:

$a=x^2-y^2\$ lub $a=2\cdot x \cdot y$

$b=2\cdot x \cdot y$ lub $b=x^2-y^2\$

$c=x^2+y^2\$

edytuj Podejście geometryczne

Można prosto rozwiązać równanie

$a^2+b^2=c^2\;$

(1)

w stylu elementarnej geometrii algebraicznej. Z rozwiązań wymiernych (a, b, c) otrzymujemy całkowite, wymnażając liczby wymierne a, b, c przez ich wspólny mianownik. Co więcej, możemy wszystkie (niezerowe) rozwiązania całkowite uzyskać z wymiernych rozwiązań (a/c, b/c, 1) równania prostszego:

x 2 + y 2 = 1

(4)

Jest to równanie okręgu. Jednym z rozwiązań jest

$(x_0,y_0):=(-1,0)\;$

Każdy inne rozwiązanie wymierne, czyli wymierny punkt okręgu, jest drugim punktem przecięcia prostej o współczynnikach wymiernych, i przecinającej okrąg w (-1,0). Jest więc ten drugi punkt rozwiązaniem równań (4) i (5):

$y=t\cdot (x+1)\;$

(5)

dla pewnej liczby wymiernej t. Podstawmy (5) do (4), wyliczmy x ≠ -1, po czym z (5) dostaniemy także y. Otrzymujemy:

$x^2+t^2\cdot(1+x)^2=1\;$

$t^2\cdot(1+x)^2=(1-x)(1+x)\;$

$t^2(1+x)=1-x\;$

(bo rozpatrujemy $x\ne -1$ ) skąd:

$x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$y = \frac{2 \cdot t}{1 + t^2}$

Otrzymaliśmy tożsamość:

$\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\right) ^2 + \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t^2}\right) ^2 = 1$

lub równoważnie:

$(1 - t^2)^2 + (2 \cdot t)^2 = (1 + t^2)^2$

Podstawmy $t := \tfrac{n}{m}$ , i pomnóżmy równanie przez $m 2$ :

$(m^2-n^2)^2+(2\cdot m)^2=(m^2+n^2)^2\;$

Liczby całkowite m > n > 0 definiują rozwiązanie równania (1):

$a:=(m^2-n^2)^2\;$

$b:=(2\cdot m)^2\;$

$c:=(m^2+n^2)^2\;$

I na odwrót, dla dowolnego rozwiązania (a', b', c') równania (1) istnieją liczby całkowite m, n, takie, że rozwiązanie (a, b, c) określone trzema powyższymi równościami da ten sam punkt (a/c, b/c) okręgu, czyli będzie proporcjonalne do (a', b', c'), t.j. te dwa rozwiązania redukują się do tego samego pierwotnego rozwiązania.

Zamiast tego wystarczy zauważyć, że tangens połowy kąta ostrego w każdym trójkącie pitagorejskim jest liczbą wymierną mniejszą od jeden. Z elementarnych tożsamości trygonometrycznych na tangens podwojonego kąta otrzymamy wszystkie potrzebne wzory.