Szereg Laurenta.html

Obszar zbieżności szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Jeżeli funkcję f(z) możemy zapisać jako sumę funkcji φ(z) oraz ψ(z) takich, że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:

$\phi(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-c)^n$ (część regularna)

$\psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-c)^{-n}$ (część osobliwa)

to funkcję f(z) przedstawiamy w postaci

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n.$

Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji f(z)=φ(z)+ψ(z). Część regularna jest zbieżna w kole $|z-c|<R\,$ , a część osobliwa na zewnątrz koła $|z-c|\leq r\,$ gdzie

${1 \over R} = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_n|^{1 \over n},$

$r = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_{-n}|^{1 \over n}.$

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu $r<|z-c|<R\,$ . Jeżeli funkcja f(z) jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki $a_n\,$ wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem

$a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,$

gdzie γ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt c jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

edytuj Przykład rozwinięcia w szereg Laurenta

$f(z)=z^2e^{\frac{1}{z}},\;c=0$

Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej:

$e^w=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!},\;w\in\mathbb{C}$

$z^2e^{\frac{1}{z}}=z^2(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\ldots)=$

= $z^2+z+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!z}+\ldots+\frac{1}{(n+2)!z^n}+\ldots,\quad z\in\mathbb{C}\backslash\{0\}.$

Pierwsze 3 składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.