Szereg (matematyka).html

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Oznaczenia
2 Zbieżność
3 Działania
- 3.1 Dodawanie i mnożenie przez skalar
- 3.2 Mnożenie
  - 3.2.1 Twierdzenie Mertensa (o mnożeniu szeregów)
    - 3.2.1.1 Przykład zastosowania
  - 3.2.2 Twierdzenie Abela
4 Szeregi funkcyjne
5 Uogólnienia
6 Zobacz też

Szereg – uogólnienie sumy liczb na nieskończoną liczbę składników.

edytuj Definicja

Niech $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. $n$ -tą sumą częściową ciągu $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ nazywa się sumę

$s_n := \sum_{i=1}^n~a_i= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ .

Granicę ciągu sum częściowych

$\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n~a_i$

(jeśli istnieje, być może nieskończona) nazywa się sumą szeregu o wyrazie ogólnym $a n$ . Granicę tę oznacza się symbolem

$\sum_{n=1}^\infty a_n:=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n~a_i$ .

Formalnie, szereg jest parą uporządkowaną $((a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (s_n)_{n\in\mathbb{N}})$ jednak (gdy nie prowadzi to do nieścisłości) oznacza się go tak samo jak jego sumę. Jeśli suma szeregu istnieje i jest skończona, to szereg taki nazywamy zbieżnym - w przeciwnym wypadku nazywamy go rozbieżnym.

edytuj Oznaczenia

Oprócz przedstawionych wyżej symboli stosuje się też zapisy skrócone:

$\sum_{n \in \mathbb N}~a_n,\, \sum_{n\geqslant 1}~a_n,\,\sum_n~a_n$ ,

a nawet $\sum~a_n$ , jeżeli kontekst jest znany. Czasami, ze względów typograficznych używa się zapisu $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty a_n$ Nic nie stoi na przeszkodzie, aby indeksację rozpocząć od liczby różnej od jedynki, np. czasami wyraz ogólny szeregu ma prostszą formę przy indeksowaniu od zera.

edytuj Zbieżność

Tak jak przy ciągach przedstawione symbole stosuje się tak do szeregów zbieżnych jak i rozbieżnych. Należy mieć na uwadze, że suma szeregu nie jest tym samym co suma jego składników (zob. niżej szeregi zbieżne warunkowo). Ponadto, jeśli w szeregu zbieżnym zmienimy, opuścimy lub dołączymy skończoną liczbę wyrazów, to otrzymany szereg też będzie zbieżny.

edytuj Warunek Cauchy'ego dla szeregów

Szereg $\sum a_n$ o wyrazach rzeczywistych bądź zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall_{\varepsilon >0} \exist_{N\in\mathbb{N}} \forall_{{p,q>N\atop p>q}} |a_q+a_{q+1}+\ldots+a_p|<\varepsilon$ .

Dowód: Ponieważ $a_q+a_{q+1}+\ldots+a_p=s_p-s_{q+1}$ , zatem warunek podany w twierdzeniu jest warunkiem Cauchy'ego dla ciągu sum częściowych. Ciąg sum częściowych (a więc szereg) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

edytuj Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Jeżeli szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~|a_n|$ jest zbieżny ( $\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| < \infty$ ), to szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n$ nazywamy zbieżnym bezwzględnie. Zbieżność bezwzględna szeregu pociąga za sobą zbieżność w zwykłym sensie.

O szeregach, które są zbieżne, lecz nie bezwzględnie mówi się, że są zbieżne warunkowo. W ich przypadku istnieje skończona granica $\scriptstyle\lim_{m\rightarrow\infty}\,\sum_{n=1}^m\,a_n$ , lecz $\scriptstyle\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right| = \infty$ (suma (bądź całka) wartości bezwzględnych wyrazów ciągu jest nieskończona).

Wyrazy szeregów bezwzględnie zbieżnych można przestawiać w dowolny sposób nie zmieniając przy tym sumy szeregu. Niestety, szeregi warunkowo zbieżne nie mają tak dobrych własności: twierdzenie Riemanna mówi, że przestawiając wyrazy danego szeregu zbieżnego warunkowo można otrzymać jako sumę nowego szeregu dowolną, z góry zadaną liczbę, bądź otrzymać szereg rozbieżny. Dlatego operacje na nich należy wykonywać z najwyższą uwagą.

Dla danego szeregu liczb rzeczywistych $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n$ rozważmy szeregi $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^+$ jego składników dodatnich i $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^-$ jego składników ujemnych. Szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n$ jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są oba te szeregi- w takim wypadku jego suma jest równa $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^++\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^-$ . Jeżeli oba te szeregi są rozbieżne odpowiednio do $+\infty$ i $-\infty$ , to szereg może być albo zbieżny warunkowo albo rozbieżny (zobacz też twierdzenie Riemanna).

edytuj Kryteria

Zobacz więcej w osobnym artykule: kryteria zbieżności szeregów.

edytuj Działania

W niniejszym paragrafie niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będą ustalonymi ciągami liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

edytuj Dodawanie i mnożenie przez skalar

Szereg dany wzorem $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty a_n+b_n$ nazywamy sumą szeregów $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty a_n$ i $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty b_n$ . Jeżeli oba szeregi są zbieżne, to ich suma również jest szeregiem zbieżnym. Analogicznie określa się różnicę szeregów. Jeśli $c$ jest liczbą zespoloną bądź rzeczywistą, to

$c\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty ca_n$ .

Możenie szeregu przez niezerowy skalar nie wpływa na jego zbieżność.

edytuj Mnożenie

Iloczynem (Cauchy'ego) szeregów $\scriptstyle{\sum}_{n = 0}^\infty~a_n$ i $\scriptstyle{\sum}_{n = 0}^\infty~b_n$ nazywamy szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=0}^\infty~c_n$ , gdzie

$c_n=\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k$ .

Odpowiada to ustawieniu wszystkich iloczynów wyrazów $a n b n$ w tablicę:

$\begin{matrix} a_0b_0 & & a_0b_1 & & a_0b_2 & \ldots\\ & \swarrow & & \swarrow & & \\ a_1b_0 & & a_1b_1 & & a_1b_2 & \ldots\\ & \swarrow & & \swarrow & & \\ a_2b_0 & & a_2b_1 & & a_2b_2 & \ldots\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \\ \end{matrix}$

i sumowaniu kolejno grup elementów w kierunku oznaczonym strzałkami. Jest to tzw. sposób Cauchy`ego:

$\begin{matrix} c_0&=&a_0b_0&\\ c_1&=&a_1b_0+a_0b_1&\\ c_2&=&a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2&\\ \ldots&\\ c_n&=&a_nb_0+a_{n-1}b_1+\ldots+a_0b_n.&\\ \end{matrix}$

Poniżej przedstawione są podstawowe twierdzenia dotyczące mnożenia szeregów.

edytuj Twierdzenie Mertensa (o mnożeniu szeregów)

Jeżeli szeregi $\sum_{k=0}^{\infty}a_n$ , $\sum_{k=0}^{\infty}b_n$ są zbieżne i co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to iloczyn Cauchy`ego $\sum_{k=0}^{\infty}c_n$ jest zbieżny oraz:

$\sum_{k=0}^{\infty}c_n=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_n\right)$ .

edytuj Przykład zastosowania

Pomnożymy szereg $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ , $| x | < 1$ , przez siebie. Mamy: $c_n=\sum_{k=0}^n x^{n-k} x^k=\sum_{k=0}^n x^n=x^n\sum_{k=0}^n 1=(n+1)x^n$ .

Szereg $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ dla $| x | < 1$ jest zbieżnym szeregiem geometrycznym o sumie $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ .

Z twierdzenia Mertensa otrzymujemy: $\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n$ .

A więc iloczyn szeregu $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ przez siebie wynosi $\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n=\left(\frac{1}{1-x}\right)^2$ .

edytuj Twierdzenie Abela

Jeśli dla dwóch zbieżnych szeregów $\sum_{k=0}^{\infty}a_n$ , $\sum_{k=0}^{\infty}b_n$ ich iloczyn Cauchy'ego jest zbieżny do pewnej liczby $C$ , to

$C=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_n\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_n\right)$

edytuj Szeregi funkcyjne

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg funkcyjny.

Szczególnie ważne dla zastosowań matematyki i jej własnych badań są rozmaite szeregi funkcyjne, w tym Fouriera i potęgowe. Okazuje się, że wiele funkcji można z dowolną dokładnością przybliżać takimi szeregami.

edytuj Szereg geometryczny

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg geometryczny.

Jeśli $a n$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ i $a_n \ne 0$ , to utworzony z jego wyrazów szereg

$a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \dots = \sum_{n=1}^\infty~a_1 q^{n-1}$

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $| q | < 1$ . Jego suma jest wtedy równa $a_1 \over 1-q$ .

edytuj Przykład

Dla $q = {1 \over 2}$ i $a = 1$ mamy

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \dots = \sum_{n=0}^\infty~\left({1 \over 2}\right)^n = 2$ .

edytuj Szereg harmoniczny

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg harmoniczny.

Szereg

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \dots = \sum_{n=1}^\infty~{1 \over n}$

nazywamy harmonicznym, jest on rozbieżny.

Dowód

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \dots + {1 \over 2^{n - 1} + 1} + \dots + {1 \over 2^n} > {1 \over 2} + {2 \over 4} + \dots + {2^{n - 1} \over 2^n} = {n \over 2}$

Ciąg po prawej stronie jest rozbieżny, czyli ten szereg też.

edytuj Szereg harmoniczny rzędu α

Szereg

$1 + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over 16} + \dots = \sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^2}$

nazywamy harmonicznym rzędu drugiego. Ogólnie szereg postaci

$\sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^\alpha}$

nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu $α$ .

Obserwacja: Jeśli $α > 1$ to szereg harmoniczny rzędu $α$ , $\sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^\alpha}$ , jest zbieżny.

Dowód: Dla $n\geq 1$ połóżmy $a_n = 1 + {1 \over 2^\alpha} + {1 \over 3^\alpha} + {1 \over 4^\alpha} + \dots + {1 \over n^\alpha}$ . Zauważmy, że

$a_n< 1 + {1 \over 2^\alpha} + {1 \over 3^\alpha} + \ldots+{1 \over (2k)^\alpha} + {1 \over (2k+1)^\alpha} +\ldots+ {1 \over (2n)^\alpha} + {1 \over (2n + 1)^\alpha} <$

$<1 + {2 \over 2^\alpha} + \dots + {2 \over (2k)^\alpha} + \dots + {2 \over (2n)^\alpha} =$

$=1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot 1 + \dots + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot {1 \over k^\alpha} + \dots + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot {1 \over n^\alpha} = 1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot \Big (1 + {1 \over 2^\alpha} + \dots + {1 \over n^\alpha}\Big) =$

$= 1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}a_n$ .

Zatem $a_n < 1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}a_n$ a stąd $a_n < {1 \over {1 - {1 \over 2^{\alpha - 1}}}}$ . Wykazaliśmy więc, że ciąg sum częściowych jest ograniczony z góry (i rosnący), a wobec tego rozważany szereg jest zbieżny.

edytuj Uogólnienia

Definicja szeregu nie musi ograniczać się do szeregów liczbowych, gdyż ciąg $(a n)$ nie musi być ciągiem liczb rzeczywistych, czy zespolonych. Dlatego też definicja ta bez zmian przenosi się na przykład na przestrzenie liniowo-topologiczne.