Równanie różniczkowe cząstkowe.html

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób.

Spis treści

1 Podstawowa definicja
2 Przykłady
- 2.1 Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe
- 2.2 Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

edytuj Podstawowa definicja

Niech $k \geqslant 1$ będzie liczbą całkowitą, a $U$ otwartym podzbiorem $\mathbb R^n$ . Równanie postaci:

$F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0$ , gdzie $x \in U$

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym $k$ -tego rzędu.

Funkcja $F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R$ jest dana, natomiast $u\colon U \to \mathbb R$ jest niewiadomą.

$D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\}$ ,

gdzie $α$ jest $n$ -wymiarowym wielowskaźnikiem.

edytuj Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że $t \ge 0$ oraz $x \in U$ , gdzie $U$ jest otwartym podzbiorem $R n$ . Ponadto $Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n})$ oznacza gradient funkcji $u$ względem zmiennych przestrzennych $x = (x 1,..., x n)$ . Zmienną $t$ interpretujemy jako czas.

edytuj Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie Laplace'a: $\Delta u := \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} = 0$
Liniowe równanie transportu: $u_t + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} = 0$
Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): $u t - Δ u = 0$
Równanie Schrödingera: $i u t + Δ u = 0$
Równanie falowe: $u t t - Δ u = 0$

edytuj Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

Nieliniowe równanie Poissona: $- Δ u = f (u)$
Równanie Hamiltona-Jacobiego: $u t + H (D u, x) = 0$
Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: $u t - Δ u = f (u)$