Równanie czwartego stopnia.html

Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0,\quad$ gdzie $a\neq0$ .

Spis treści

1 Rys historyczny
2 Najprostsze typy równań
- 2.1 Równanie dwukwadratowe
- 2.2 Równanie zwrotne
3 Pierwszy etap: redukcja przypadku ogólnego
4 Rozwiązywanie równania zredukowanego
5 Źródła
6 Zobacz też

edytuj Rys historyczny

W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccolo Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolamo Cardano w Ars Magna w 1545.

edytuj Najprostsze typy równań

W pewnych przypadkach równanie

$(\circledast)\qquad ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0\quad$

może być rozwiązane przy użyciu bardzo elementarnych metod.

edytuj Równanie dwukwadratowe

Jeśli $b=d=0\quad$ , czyli gdy $(\circledast)$ jest postaci

$(\circledast)_1\qquad ax^{4}+cx^{2}+h=0,\quad$

to równanie to nazywamy równaniem dwukwadratowym lub bikwadratowym. Aby je rozwiązać, wystarczy podstawić $t = x 2$ . Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe $a t 2 + c t + h = 0,$ które rozwiązujemy używając formuły kwadratowej.

edytuj Równanie zwrotne

Jeśli $b=d\quad$ oraz $a=h\quad$ , czyli gdy $(\circledast)$ jest postaci

$(\circledast)_2\qquad ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\quad$

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązujemy je dzieląc obie strony równania przez $x 2$ i otrzymując

a (x 2 + x - 2) + b (x + x - 1) + c = 0.

Podstawiając $y = x + x - 1$ mamy $x 2 + x - 2 = y 2 - 2$ i otrzymujemy równanie kwadratowe

a (y 2 - 2) + b y + c = 0,

z którego możemy obliczyć $y,$ a potem możemy wyznaczyć $x$ .

edytuj Pierwszy etap: redukcja przypadku ogólnego

Wykażemy teraz, że równanie $(\circledast)$ może być zredukowane do równania postaci

$(\heartsuit)\qquad u^4+pu^2+qu+r=0.$

Wychodząc z równania $(\circledast)$ dzielimy obie strony przez $a$ , otrzymując:

(i) $x^{4}+\frac{b}{a}x^{3}+\frac{c}{a}x^{2}+\frac{d}{a}x+\frac{h}{a}=0.\quad$

Następnie stosujemy podstawienie $x=u-\frac{b}{4a}$ prowadzące do:

(ii) $\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{4}+\frac{b}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{3}+\frac{c}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{2}+\frac{d}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)+\frac{h}{a}=0.\quad$

Po wymnożeniu dostajemy:

(iii) $\left(u^4-\frac{b}{a}u^3+\frac{6b^2}{16a^2}u^2-\frac{4b^3}{64a^3}u+\frac{b^4}{256a^4}\right)+$

$\frac{b}{a}\left(u^3-\frac{3b}{4a}u^2+\frac{3b^2}{16a^2}u-\frac{b^3}{64a^3}\right)+\frac{c}{a}\left(u^2-\frac{b}{2a}u+\frac{b^2}{16a^2}\right)+\frac{d}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)+\frac{h}{a}=0,$

a po poszeregowaniu zmiennych, wedle wykładników potęgowych równanie przybiera postać:

(iv) $u^{4}+\left(\frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a}\right) u^{2}+\left(\frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a}\right)u+\left(\frac{-3b^4}{256a^4}+\frac{cb^2}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{h}{a}\right)=0.$

Oznaczamy teraz

$p=\frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a},$

$q=\frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a},$

$r=\frac{-3b^4}{256a^4}+\frac{cb^2}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{h}{a},$

i równanie $(\circledast)$ zostało sprowadzone do postaci:

$(\heartsuit)\qquad u^4+pu^2+qu+r=0.$

Warto zauważyć, że tę redukcję łatwo wykonywać, stosując schemat Hornera, ponieważ $u=x+\frac{b}{4a}$ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z $u$ to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu $x+\frac{b}{4a}$ .

edytuj Rozwiązywanie równania zredukowanego

Omówimy teraz metodę rozwiązywania równań postaci

$(\heartsuit)\qquad u^4+pu^2+qu+r=0$ .

Jeśli $q=0\quad$ wtedy równanie jest równaniem dwukwadratowym omawianym wcześniej. Jeśli nie, to stosujemy procedurę opisaną w tej sekcji.

Zwróćmy uwagę, że jeśli znajdziemy jeden pierwiastek $u 0$ równania $(\heartsuit)$ , to możemy na mocy twierdzenia Bézout podzielić wielomian $u 4 + p u 2 + q u + r$ przez $u - u 0$ , redukując nasze równanie do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie możemy znaleźć wszystkie rozwiązania równania $(\heartsuit)$ . Poniżej najpierw przedstawimy metodę znajdywania jednego pierwiastka naszego równania, a pózniej bardziej szczegółowo opiszemy sposób na znajdywanie wszystkich rozwiązań tego równania.

edytuj Jak znaleźć jeden pierwiastek

Wprowadźmy na jakiś czas trzy dodatkowe zmienne $t, v, w$ wymagając że spełniają one równanie

t + v + w = 2 u

Wówczas

t 2 + v 2 + w 2 + 2(t v + t w + v w) = 4 u 2

, a stąd

$\left(t^2+v^2+w^2\right)^2+4\left(t^2+v^2+w^2\right)\left(tv+tw+vw\right)+4\left(t^2v^2+t^2w^2+v^2w^2\right)+8tvw\left(t+v+w\right)=16u^4$ .

Mnożąc obie strony $(\heartsuit)$ przez 16 i podstawiając wyrażenia na $u, u 2, u 4$ dane przez powyższe równania otrzymujemy następujące równanie:

$(\clubsuit)\qquad \left(t^2+v^2+w^2\right)^2+4p\left(t^2+v^2+w^2\right)+4\left(tv+tw+vw\right)\left(t^2+v^2+w^2+2p\right)+$

$+4\left(t^2v^2+t^2w^2+v^2w^2\right)+8\left(t+v+w\right)\left(tvw+q\right)+16r=0$ .

Zwróćmy uwagę, że każda trójka liczb $t, v, w$ spełniająca równanie $(\clubsuit)$ da nam rozwiązanie $u$ równania $(\heartsuit)$ . Nietrudno jest spostrzec, że jeśli liczby $t, v, w$ spełniają równania

(a)

t v w = - q

(b)

t 2 + v 2 + w 2 = - 2 p

(c)

t 2 v 2 + t 2 w 2 + v 2 w 2 = p 2 - 4 r

to spełniają one również równanie $(\clubsuit)$ . Jeśli równanie (a) przekształcimy do

(d)

t 2 v 2 w 2 = q 2

to układ równań (b)-(d) może być interpretowany jako wzory Viète'a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia znajdujemy pierwiastki $z 1, z 2, z 3$ tak zwanego równania rozwiązującego:

$(\otimes)\qquad z^3+2pz^2+(p^2-4r)z-q^2=0$ .

Niech

$t$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z 1$ ,
$v$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z 2$ , a
$w$ będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z_3\quad$ , przy którym będzie spełnione równanie (a) powyżej.

(Ponieważ $q\neq 0$ , to $z_3\neq 0$ i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem.) Wówczas liczby $t,v,w\quad$ spełniają równania (a)-(c), a zatem również równanie $(\clubsuit)$ . Otrzymujemy więc rozwiązanie równania $(\heartsuit)$ :

$u_0=\frac{t+v+w}{2}$ .

edytuj Jak znaleźć wszystkie pierwiastki

Rozważmy równanie rozwiązujące

$(\otimes)\qquad z^3+2pz^2+(p^2-4r)z-q^2=0$

i oznaczmy jego pierwiastki jako $z 1, z 2, z 3$ . Następnie wyznaczamy liczby $t 1, v 1, w 1$ tak że $t 2 = z 1$ , $v 2 = z 2,$ , $w 2 = z 3$ oraz $t v w = - q$ . Wówczas liczby $t 1, v 1, w 1$ spełniają równania (a)-(c), a zatem również równanie $(\clubsuit)$ . Mamy więc

$t_1^2+v_1^2+w_1^2=-2p$ oraz $t^2_1v^2_1+t^2_1w^2_1+v^2_1w^2_1=p^2-4r$ ,

a stąd

$(\boxplus)\qquad t_1^4+v_1^4+w_1^4-2\left(t_1^2w_1^2+t_1^2w_1^2+v_1^2w_1^2\right)=\left(t_1^2+v_1^2+w_1^2\right)^2-4\left(t_1^2w_1^2+t_1^2w_1^2+v_1^2w_1^2\right)=4p^2-4\left(p^2-4r\right)=16r.$

Teraz zauważmy, że

$\left(2u-t_1-v_1-w_1\right)\left(2u-t_1+v_1+w_1\right)\left(2u+t_1-v_1+w_1\right)\left(2u+t_1+v_1-w_1\right)=\quad$

$=\left[\left(2u-t_1\right)^2-\left(v_1+w_1\right)^2\right]\left[\left(2u+t_1\right)^2-\left(v_1-w_1\right)^2\right]=\quad$

$=\left(4u^2-t_1^2\right)^2-\left(2u-t_1\right)^2\left(v_1-w_1\right)^2-\left(2u+t_1\right)^2\left(v_1+w_1\right)^2+\left(v_1^2-w_1^2\right)^2=$

$=16u^4-8u^2\left(t_1^2+v_1^2+w_1^2\right)-16ut_1v_1w_1+t_1^4+v_1^4+w_1^4-2\left(t_1^2w_1^2+t_1^2v_1^2+v_1^2w_1^2\right)=$

= 16(u 4 + p u 2 + q u + r)

(Dla ostatniej równości używamy równań $(\boxplus)$ oraz $t 1 v 1 w 1 = - q$ .) Otrzymaliśmy więc równanie

$16 (u^4+pu^2+qu+r)=\left(2u-t_1-v_1-w_1\right)\left(2u-t_1+v_1+w_1\right)\left(2u+t_1-v_1+w_1\right)\left(2u+t_1+v_1-w_1\right)$ ,

z którego natychmiast widzimy, że liczby

$u_1=\frac{t_1+v_1+w_1}{2}$ , $u_2=\frac{t_1-v_1-w_1}{2}$ ,

$u_3=\frac{-t_1+v_1-w_1}{2}$ , $u_4=\frac{-t_1-v_1+w_1}{2}$

spełniają równanie $(\heartsuit)$ . Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

edytuj Obserwacja

Równanie $(\heartsuit)$ ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie $(\otimes)$ ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód

Zauważmy, że na mocy naszych równań mamy

$\left(u_1-u_2\right)\left(u_1-u_3\right)\left(u_1-u_4\right)\left(u_2-u_3\right)\left(u_2-u_4\right)\left(u_3-u_4\right)=\left(t_1^2-v_1^2\right)\left(t_1^2-w_1^2\right)\left(v_1^2-w_1^2\right)\quad$

(gdzie, pamiętajmy, $t_1,v_1,w_1\quad$ są pierwiastkami równania $(\otimes)$ ).

edytuj Źródła

Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, "Monografie Matematyczne" Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive (en)
Równania w serwisie matematyka.pl