Równania rożniczkowe zupełne

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:

$P(x,y)+Q(x,y) \cdot {dy \over{dx}}=0$

w którym $P(x,y), \ Q(x,y)$ - funkcje ciągłe w pewnym obszarze $D$ i takie, że wyrażenie $\ P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy$ jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze $D$ funkcji dwóch zmiennych $F (x, y)$ .

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja $F (x, y)$ , że w każdym punkcie obszaru $D$ zachodzą następujące związki:

${\partial F \over{ \partial x}}= P(x,y), \quad {\partial F \over{\partial y}}=Q(x,y)$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie $\ P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy$ było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym $D$ jest spełnienie równości:

${\partial P \over{\partial y}}={\partial Q \over{\partial x}}$

Przykład: $\ (\cos x - x \sin x)y\, dx + (x\cos x - 2y)\,dy = 0$

${\mathcal L}={\partial P \over{\partial y}}= \cos x - x\sin x$

${\mathcal P}={\partial Q \over{\partial x}}= \cos x - x\sin x$

Zatem $\mathcal L=P$ , czyli instnieje $F (x, y)$ taka, że:

${\partial F \over{ \partial x}}= (\cos x - x\sin x)y$

${\partial F \over{ \partial y}}= x\cos x - 2y$

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. drugie) otrzymujemy:

$F(x,y)= \int (x\cos x - 2y)dy= yx \cos x - y^2 + \phi(x)$

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

${\partial F \over{ \partial x}}=y(\cos x - x\sin x)+ \phi^'(x)$

$y cos x - y x sin x + φ' (x) = (cos x - x sin x) y$ z rów. 1

Stąd: $φ' (x) = 0$ ,

zatem $φ(x) = C 1$ .

Czyli $\frac{}{} F(x,y)=xy \cos x - y^2 + C_{1}= C$ ,

i upraszając: $\frac{}{} xy \cos x - y^2 = C$ , gdzie $C$ - stała.

All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.