Różniczka.html

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: To jest silna różniczka (i w artykule pod tą nazwą powinna się znaleźć). Artykuł powinien omówić w ogólności co to jest różniczka i jakie ma zastosowania, odsyłając do artykułów poświęconych poszczególnym definicjom po szczegóły..
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Spis treści

1 Geneza pojęcia
2 Definicja
3 Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia
- 3.1 Kombinacje liniowe
- 3.2 Funkcje rzeczywiste
4 Przykład zastosowania
5 Zobacz też

Portret G. W. Leibniza

Różniczka (Frécheta) – ciągłe odwzorowanie liniowe przybliżające lokalnie wartości danej funkcji w otoczeniu ustalonego punktu.

Dla funkcji określonych na prostej rzeczywistej, różniczka ściśle związana jest z pojęciem pochodnej funkcji, jednak różniczki mogą być określone także dla funkcji określonych na otwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni unormowanych o wartościach w innych (dowolnych) przestrzeniach unormowanych.

edytuj Geneza pojęcia

Wprowadzenie pojęcia różniczki funkcji rzeczywistej umożliwiło zastąpienie obiektu złożonego (funkcji), czymś zupełnie podstawowym – funkcją liniową (a dokładniej homotetią). Twórca pojęcia różniczki, Gottfried Wilhelm Leibniz, wprowadził je z pełnym rozmysłem w oparciu o potrzebę lokalnego przybliżania wartości funkcji za pomocą dobrze znanych metod algebry liniowej.

Abstrakcyjna definicja różniczki funkcji w dowolnych przestrzeniach unormowanych została wprowadzona jako uogólnienie definicji różniczki funkcji rzeczywistej. Jest ona podstawowym pojęciem rachunku wariacyjnego.

Istnieją także inne pojęcia związane z zagadnieniem badania lokalnych zmian przyrostów funkcji przestrzeni unormowanych. Często mówi się o słabej różniczkowalności (inaczej: różniczkowalności w sensie Gâteaux) lub pochodnej Diniego. Różniczka Frécheta jest jednak najbardziej naturalnym uogólnieniem pojęcia różniczki funkcji rzeczywistej.

edytuj Definicja

Niech $X,\; Y$ będą dowolnymi przestrzeniami unormowanymi, $L(X,\; Y)$ oznacza zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań liniowych z $X$ do $Y$ , a $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ .

Mówimy, że funkcja $F\colon D\to Y$ jest różniczkowalna w $x_0 \in D$ , jeśli istnieje przekształcenie liniowe $A \in L(X,\; Y)$ takie, że

$\lim_{h \to 0} \tfrac{F(x_0 + h) - F(x_0) - Ah}{\|h\|} = 0$ .

edytuj Warunki równoważne

Innymi słowy, $F$ jest różniczkowalna w $x 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $A \in L(X,\; Y)$ oraz funkcja $r_F(x_0, \cdot)\colon D-x_0 \to Y$ spełniająca warunki:

$F (x 0 + h) - F (x 0) = A h + r F (x 0, h)$
$\lim_{h\to 0}\tfrac{r_F(x_0,h)}{\|h\|} = 0$

Jeszcze inaczej, $F$ jest różniczkowalna w $x 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $A \in L(X,\; Y)$ oraz funkcja $\varepsilon_F(x_0, \cdot)\colon D-x_0 \to Y$ , która jest ciągła w zerze oraz $\varepsilon_F(x_0, 0) = 0$ tak, że zachodzi

$F(x_0 + h) - F(x_0) = Ah + \varepsilon_F(x_0, h)\|h\|$

Jeśli $F$ jest różniczkowalna w $x_0 \in D$ , to istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie liniowe ciągłe, że spełniona jest główna definicja) – nazywamy je wówczas różniczką Frécheta funkcji $F$ w punkcie $x 0$ i oznaczamy $d F (x 0)$ lub $dF_{x_0}$ .

edytuj Różniczkowalność a otwartość zbioru $D$

Rozważając pojęcie różniczki (Frécheta) bierzemy otwarty podzbiór $D$ przestrzeni unormowanej i rozkładamy przyrost $F(x_0 + h) - F(x_0), x_0+h, x_0\in D$ (por. pierwszy z warunków równoważnych różniczkowalności powyżej) na część liniową i resztę rzędu mniejszego od $h$ . Założenie otwartości zbioru $D$ jest konieczne z tego powodu, że szukane odwzorowanie liniowe (czyli różniczka) jest wyznaczone jednoznacznie, jeśli znane są jego wartości w pewnym otoczeniu zera.

Dla przykładu niejednoznaczności, rozważmy zbiór domknięty $V=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon\; x=y\}\subseteq \mathbb{R}^2$ oraz funkcję

f (x, y) = x + y

Różniczka funkcji $f$ w punkcie $(x 0, y 0)$ jest odwzorowaniem liniowym $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ - jej macierz składa się jednego wiersza. Mamy więc:

f (x 0 + h 1, y 0 + h 2) - f (x 0, y 0) = h 1 + h 2

Aby jednocześnie $(x_0+h_1, y_0+h_2),(x_0,y_0)\in V$ musi być $h 1 = h 2$ . Widać stąd, że różniczka funkcji $f$ w punkcie $(x 0, y 0)$ jest postaci $[1 + a,1 - a$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, a zatem w tym przypadku mamy brak jednoznaczności różniczki. Można jednak przyjąć następującą definicję:

Niech $V$ będzie dowolnym, niepustym podzbiorem przestrzeni unormowanej $X$ i niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną. Mówimy, że odzworowanie $F\colon V\to Y$ jest różniczkowalne w zbiorze $V$ , jeśli istnieje zbiór otwarty $U\supseteq V$ i odzworowanie $F 1$ różniczkowalne w $U$ , że $F 1 | V = F$ . Różniczką odzworowania $F$ w punkcie $x_0\in V$ nazywamy różniczkę odzworowania $F 1$ w tym punkcie.

Powyższa definicja nie zapewnia jednak jednoznaczności różniczki odwzorowania określonego na zbiorze nieotwartym. Różniczka jest natomiast wyznaczona jednoznacznie we wnętrzu zbioru $V$ . Definicję tę można przenieść na różniczki wyższych rzędów.

edytuj Uwagi

Jeżeli $F$ jest różniczkowalna w $x 0$ , to jest ciągła w $x 0$ . Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Jeżeli $F$ jest różniczkowalna w $x 0$ , to jest słabo różniczkowalna w $x 0$ .
Jeżeli w punkcie $x 0$ istnieją i są ciągłe wszystkie różniczki cząstkowe funkcji $F$ , to jest ona różniczkowalna w $x 0$ .

edytuj Różniczka funkcji rzeczywistej

Niech $f$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale otwartym $P$ o wartościach rzeczywistych. Funkcja ta jest różniczkowalna w $x_0 \in P$ w sensie Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pochodna w tym punkcie. Wówczas dla każdego $t \in \mathbb R$

$df(x_0)(t) = f^{\prime}(x_0)\cdot t$

edytuj Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia

Niech $X,\; Y,\; Z$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D \subseteq X,\; E \subseteq Y$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje $f\colon D \to Y, g\colon E \to Z$ , że $f(D)\subseteq E$ . Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $x_0 \in D$ , to złożenie $g\circ f$ jest różniczkowalne w $f (x 0)$ oraz

$d(g\circ f)(x_0)=dg(f(x_0))\circ df(x_0)$

edytuj Kombinacje liniowe

Różniczka kombinacji liniowej funkcji różniczkowalnych jest kombinacją liniową ich różniczej, formalnie powyższe twierdznie można wypowiedzieć w sposób następujący:

Niech $X,\; Y$ będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem $\mathbb K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz funkcje $f,\; g\colon D \to Y$ będą różniczkowalne w $x_0 \in D$ . Wówczas, dla wszelkich $\alpha, \beta \in \mathbb K$ funkcja $α f + β g$ jest różniczkowalna w $x 0$ i prawdziwy jest wzór

d (α f + β g)(x 0) = α d f (x 0) + β d g (x 0)

edytuj Funkcje rzeczywiste

Niech $D,\; E$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami $\mathbb R$ oraz dane będą funkcje $f\colon D \to \mathbb R,\; g\colon E \to \mathbb R$ , a przy tym $f(D) \subseteq E$ . Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $x 0$ , to $g \circ f$ jest różniczkowalna w $f (x 0)$ oraz dla odwzorowań

$A\colon t\mapsto f^{\prime}(x_0)t$

$B\colon s\mapsto g^{\prime}(f(x_0))s$

prawdziwa jest równość

$(L_2 \circ L_1)(s) = L_2(L_1(s)) = g^\prime(f(x_0))(L_1(s)) = g^\prime(f(x_0))f^\prime(x_0)s$ .

edytuj Przykład zastosowania

Korzystając z rachunku różniczkowego można w dość szybki sposób obliczać wartości skomplikowanych wyrażeń. Na przykład, przybliżoną wartość wyrażenia $w=\frac{(2,03)^4}{(3,998)^2}$ :

Rozważmy funkcję $f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ daną wzorem $f(x,y)=\frac{x^4}{y^2}$ .
$f(x_0+h_1, y_0+h_2)\approx f(x_0,y_0)+df(x_0,y_0)(h_1,h_2) = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot h_2$
$(x 0, y 0) = (2,4)$ ,
$(h 1, h 2) = (0,03, - 0,002)$
$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4\frac{x^3}{y^2},\; \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2\frac{x^4}{y^3}$
I ostatecznie:
$\begin{array}{c c l}w&\approx & f(2{,}4)+\frac{\partial f}{\partial x}(2,4)\cdot 0,03+\frac{\partial f}{\partial y}(2{,}4)\cdot (-0{,}002) \\ & = & 1+2\cdot 0,03+(-\frac{1}{2})\cdot (-0{,}002) \\ & = & 1+0{,}06+0{,}001=1,061\end{array}$ .