Przestrzeń zwarta.html

Spis treści

1 Idea
2 Własności
3 Przestrzenie metryczne
- 3.1 Przykłady
4 Zobacz też

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna $X$ spełniająca warunek:

X

zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie).

Zbiór $A \subset X$ nazywamy zbiorem zwartym gdy $A$ traktowane jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z $X$ ) jest przestrzenią zwartą.

NIektórzy autorzy dodają do założeń zwartości, że rozważana przestrzeń spełnia warunek Hausdorffa.

edytuj Idea

Idea zwartości wyłoniła się w drodze rozważań topologicznych - matematycy zauważyli, że przestrzenie spełniające warunek zwartości dobrze się zachowują. Oto najważniejsze przykłady takich dobrych zachowań:

funkcja ograniczona, określona na przestrzeni zwartej, przyjmuje swoje kresy;
funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła;
każda metryczna przestrzeń zwarta jest zupełna.

Mówiąc ogólniej (i zapewne mniej przejrzyście): w przestrzeni zwartej niektóre własności spełniane lokalnie, są automatycznie spełnione globalnie. Mówiąc niektóre mamy na myśli dokładnie te własności $P$ , które spełniają warunek: dla każdych zbiorów otwartych $V, U$ , jeżeli $V, U$ mają własność $P$ , to również ich suma ma tą własność.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych. Nie jest to jednak pojęcie, z którym w ogólności można wiązać uchwytne intuicje lub analogie.

edytuj Własności

Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód

Niech $X$ będzie przestrzenią zwartą, a $f\colon X \rightarrow Y$ odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że $f (X)$ jest zwarte.

Niech $\{V_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ jest otwartym pokryciem $f (X)$ . Oczywiście $\mathcal{V} = \{f^{-1}(V_{\lambda})\}_{\lambda \in \Lambda}$ jest otwartym pokryciem $X$ .

Istotnie, otwartość rodziny $\mathcal{V}$ od razu wynika z ciągłości $f$ . Ponadto dla dowolnego $x \in X$ istnieje zbiór $V λ'$ , taki że $f(x) \in V_{\lambda'}$ . Dlatego też $x \in f^{-1}(V_{\lambda'})$ .

Na mocy zwartości $X$ istnieje skończona rodzina zbiorów $\{f^{-1}(V_{\lambda_1}), f^{-1}(V_{\lambda_1}), \cdots, f^{-1}(V_{\lambda_n}) \}$ będąca pokryciem $X$ .

Łatwo widzimy, że $\{V_{\lambda_1}, V_{\lambda_2}, \cdots, V_{\lambda_n} \}$ jest otwartym, skończonym pokryciem $f (X)$ .

Zatem z dowolnego pokrycia $f (X)$ udało się wybrać otwarte podpokrycie. Czyli $f (X)$ jest zwarty. $\;_\square$

Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony (twierdzenie Heinego-Borela).

Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w $\mathbb{R}$ jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy (twierdzenie Weierstrassa).

Dowód

Niech $f\colon X \rightarrow \mathbb{R}$ będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej $(X, d)$ .

$f (X)$ jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy twierdzenia Heinego-Borela (Własność 2). $f (X)$ jest domknięty i ograniczony.

Ograniczoność $f (X)$ oznacza, że $f$ jest ograniczona.

Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości f(X) wynika że $\inf f(X) \in f(X)$ oraz $\sup f(X) \in f(X)$ .
Zatem f przyjmuje swoje kresy. $\;_\square$

Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową z tych przestrzeni) jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).
Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód

Niech $X$ będzie przestrzenią Hausdorffa, a $A \in X$ jej zwartym podzbiorem.

Aby udowodnić, że $A$ jest domknięty uzasadnimy, że $X\setminus A$ jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego $x \in X\setminus A$ istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru A.

Niech $x \in X\setminus A$ , $y \in A$ . Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieje otoczenie $V y$ punktu x oraz otoczenie $U y$ punktu y takie że $V_y \cap U_y = \emptyset$ .

Oczywiście rodzina $\{U_{y}\}_{y \in A}$ stanowi otwarte pokrycie $A$ . Na mocy zwartości $A$ istnieje skończone podpokrycie $\{U_{y_1}, U_{y_2}, \cdots, U_{y_n}\}$ . Każdy zbiór $U_{y_i}$ jest rozłączny z odpowiednim zbiorem $V_{y_i}$ . Zatem przekrój $V = \bigcap_{i=1}^n V_i$ jest rozłączny z każdym ze zbiorów $U_{y_i}$ . Więc $V$ jest otoczeniem $x$ , które jest rozłączne z $A$ . Z dowolności $x$ wynika, że zbiór $A$ jest domknięty. $\;_\square$

Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód

Niech $A$ będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej $(X, d)$ .

Należy udowodnić, że $\operatorname{diam}(A) = \sup\{d(x, y)\colon x, y \in A\} < \infty$

Wykorzystamy fakt, że metryka $d\colon X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła. Obcięcie $f = d | A$ jest ciągłe. Na mocy twierdzenia Weierstrassa (Własność 3) funkcja $f$ jest ograniczona. Zatem $\sup\{f(x, y): x, y \in A\} < \infty$ . Czyli $\operatorname{diam}(A) < \infty$ .

Wykazaliśmy, że zbiór $f$ jest ograniczony. $\;_\square$

Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni $X$ na przestrzeń Hausdorffa $Y$ jest homeomorfizmem.

Dowód

Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte.

Niech $A \in X$ jest domknięty, $f\colon X \rightarrow Y$ jest ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni $X$ w przestrzeń Hausdorffa $Y$ .

Zatem $A$ jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd $f (A)$ jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc $f (A)$ jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa. $\;_\square$

Przestrzeń metryczna $X$ jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny.

Jest to charakteryzacja zwartości w przestrzeni metrycznej.

Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

edytuj Przestrzenie metryczne

Zwartość przestrzeni metrycznej można opisywać na wiele równoważnych sposobów. W przestrzeni euklidesowej (w szczególności w ${\mathbb R}^n$ ) zwartość można zdefiniować w następujący sposób (twierdzenie Heinego-Borela):

Zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Ogólniej, w przestrzeniach metrycznych szczególnie często korzysta się z następującej własności:

Przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny.

edytuj Przykłady

Stosując powyższą definicję od razu można podać przykłady przestrzeni zwartych i przestrzeni, które zwarte nie są:

zwarty jest odcinek $[0,1] \subset \mathbb R$ ,
odcinek $(0,1) \subset \mathbb R$ nie jest już zwarty (z powodu braku domkniętości): Rodzina zbiorów

$\left\{ \left({1 \over n},\; {2 \over n}\right): n \in \mathbb N, n \ge 1 \right\} = \left\{ \left({1 \over 2},\; 1\right),\; \left({1 \over 3},\; {2 \over 3}\right),\; \left({1 \over 4},\; {1 \over 2}\right),\;\left({1 \over5},\; {2 \over 5}\right), \dots \right\}$

jest pokryciem odcinka

(0,1)

zbiorami otwartymi w $\mathbb R$ (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały odcinek

(0,1)

zwarta nie jest również cała prosta liczbowa $\mathbb R$ .