Przestrzeń liniowo-topologiczna.html

Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne przesunięcie zera. Przesunięcie jest homeomorfizmem, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.

Przestrzeń liniowo-topologiczna - przestrzeń liniowa w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologiczej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

Spis treści

1 Definicja
2 Ogólne własności
- 2.1 Zbiory ograniczone
  - 2.1.1 Charakteryzacja zbiorów ograniczonych
- 2.2 Zbiory zbalansowane
3 Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych
4 Przykład - produkt przestrzeni liniowo-topologicznych
5 Ciągi Cauchy'ego w przestrzeniach liniowo-topologicznych
6 Bibliografia
7 Przypisy

edytuj Definicja

Jeśli $(X,+,\cdot)$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a $τ$ jest topologią w zbiorze $X$ , to przestrzeń $(X,+,\cdot, \tau)$ nazywamy przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy $(X,τ)$ jest T₁-przestrzenią oraz dodawanie $+\colon X\times X\to X$ i mnożenie przez skalar $\cdot\colon K\times X\to X$ są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

edytuj Ogólne własności

Dla każdego punktu $x_0\in X$ i każdego skalara $\alpha\in K\setminus\{0\}$ odwzorowania: $x\mapsto x+x_0,\; x\in X$ i $x\mapsto \alpha x,\; x\in X$ są homeomorfizmami przestrzeni $X$ na przestrzeń $X$ , więc zasadne jest badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób, przez homeomorfizmy, na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni $X$ dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

edytuj Zbiory ograniczone

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór $A$ nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje $\alpha\in (0,\infty)$ , że $A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}$ .

Można wykazać, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi byc to prawda nawet wtedy, gdy metryka $\varrho$ na $X$ jest niezmiennicza tzn. spełnia warunek $\varrho(x,y)=\varrho(x+z, y+z)$ dla $x,y,z\in X$ .

edytuj Charakteryzacja zbiorów ograniczonych

Równoważnie, zbiór $A$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje takie $\alpha\in(0,\infty)$ , że dla każdego $\beta \in [\alpha, \infty)$ zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $β U$ .

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n\to\infty}\alpha_nx_n=0$

dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów tego zbioru i każdego ciągu $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów ciała $K$ , zbieżnego do zera.

edytuj Zbiory zbalansowane

Zbiór $A\subseteq X$ nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego $\alpha\in K$ takiego, że $| α | = 1$ zbiór $\alpha A\subseteq A$ .

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każe wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

edytuj Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna $(X,τ)$ jest:

lokalnie wypukła, gdy istnieje baza otoczeń $\mathcal{B}$ w $X$ , której elementy są zbiorami wypukłymi;
lokalnie ograniczona, jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
lokalnie zwarta, jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
F-przestrzenią^[1], jeśli $τ$ jest zadana przez zupełną, niezmienniczą metrykę;
przestrzenią Frécheta^[1] jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
normowalna, jeśli w $X$ istnieje taka norma, że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z $τ$ .

Ponadto, mówi się przestrzeń $X$ ma własność Heinego-Borela, jeśli każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń^[2]. Przestrzeń $X$ jest, natomiast, normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. $X$ ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń $X$ ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

edytuj Przykład - produkt przestrzeni liniowo-topologicznych

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład, przestrzeń $X$ wszystkich funkcji rzeczywistych $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ może być utożsamiany z przestrzenią $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ , wyposażoną w topologię Tichonowa. $X$ nazywa się topologią zbieżności punktowej ^[3]. Przestrzeń ta jest zupełna, ale nie jest normowalna.

edytuj Ciągi Cauchy'ego w przestrzeniach liniowo-topologicznych

Pojęcie ciągu Cauchy'ego można przenieść w naturalny sposób na przestrzenie liniowo-topologiczne bez uciekania się do pojęcia metryki. Przyjmowana jest następująca definicja:

Ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ punktów przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ nazywany jest ciągiem Cauchy'ego (w przestrzeni $X$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje taka liczba naturalna $n 0$ , że dla $n, m > n 0$

$x_n-x_m\in U$ .

W przestrzeni liniowo-topologicznej:

każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego,
zbiór wyrazów ciągu Cauchy'ego jest ograniczony,
każdy ciąg Cauchy'ego mający podciąg zbieżny jest zbieżny.

Jeżeli topologia przestrzeni $X$ jest wyznaczona przez metrykę $\varrho$ , spełniającą warunek

$\varrho(x,y)=\varrho(x+z, y+z)$ dla $x,y,z\in X$ ,

to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego względem metryki $\varrho$ .

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest F-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy'ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

edytuj Bibliografia

Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, ss. 19-24.

Przypisy

↑ ^1,0 ^1,1 Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta - inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią
↑ Zob. Pierwszy aksjomat przeliczalności
↑ Zob. Zbieżność punktowa ciągu funkcji