Przestrzeń liniowa.html

Przestrzeń liniowa to zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe. Wektorami w tych przestrzeniach są odpowiednio pary uporządkowane i trójki liczb rzeczywistych, reprezentowane często w postaci wektorów geometrycznych charakteryzowanych przez kierunek, zwrot oraz wartość, zwykle przedstawia się je jako strzałki. Wektory mogą być sumowane wg reguły równoległoboku (dodawanie wektorów) lub mnożone przez liczby rzeczywiste (mnożenie przez skalar). Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładem takiej przestrzeni jest np. zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.

edytuj Definicja

Niech $(K, +, \cdot)$ będzie ciałem (jakim są np. liczby rzeczywiste czy liczby zespolone), którego elementy nazywane będą skalarami, a ono samo – ciałem skalarów. Przestrzenią liniową bądź wektorową nad ciałem $K$ nazywa się zbiór $V$ z dwoma działaniami dwuargumentowymi:

dodawaniem wektorów: $V \times V \to V$ oznaczanym $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w$ , gdzie $\mathbf v, \mathbf w \in V$ i
mnożeniem przez skalar: $K \times V \to V$ oznaczanym $a \boldsymbol \cdot \mathbf v$ , gdzie $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ ,

które spełniają poniższe aksjomaty. Pierwsze cztery czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

Dodawanie wektorów jest łączne:

Dla dowolnych $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in V$ zachodzi $\mathbf u \boldsymbol + (\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = (\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v) \boldsymbol + \mathbf w$ .
Dodawanie wektorów jest przemienne:

Dla dowolnych $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \mathbf w \boldsymbol + \mathbf v$ .
Dodawanie wektorów ma element neutralny:

Istnieje taki element $\boldsymbol 0 \in V$ , nazywany wektorem zerowym, że $\mathbf v \boldsymbol + \boldsymbol 0 = \mathbf v$ dla dowolnego $\mathbf v \in V$ .
Dodawanie wektorów ma elementy odwrotne:

Dla każdego $\mathbf v \in V$ istnieje element $\mathbf w \in V$ , nazywany wektorem przeciwnym do $\mathbf v$ , taki, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \boldsymbol 0$ .
Dodawanie wektorów jest rozdzielne względem mnożenia przez skalar:

Dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $a \boldsymbol \cdot (\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = a \boldsymbol \cdot \mathbf v \boldsymbol + a \boldsymbol \cdot \mathbf w$ .
Dodawanie skalarów jest rozdzielne względem mnożenia przez wektor:

Dla każdych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(a + b) \boldsymbol \cdot \mathbf v = a \boldsymbol \cdot \mathbf v \boldsymbol + b \boldsymbol \cdot \mathbf v$ .
Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów:

Dla dowolnych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ jest $a \boldsymbol \cdot (b \boldsymbol \cdot \mathbf v) = (a \cdot b) \boldsymbol \cdot \mathbf v$ .
Mnożenie przez skalar ma element neutralny:

Dla dowolnego $\mathbf v \in V$ jest $1 \boldsymbol \cdot \mathbf v = \mathbf v$ , gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K$ .

edytuj Uwagi

Z formalistycznego punktu widzenia przestrzeń liniowa nad ciałem $K$ jest więc strukturą matematyczną $(V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot)$ , w której:

$(V, \boldsymbol +)$ jest grupą abelową (aksjomaty 1-4),
$(K, +, \cdot)$ jest ciałem,

wyposażoną w działanie $\boldsymbol \cdot\colon K \times V \to V$ spełniające aksjomaty 5-8.

Formalnie powyższych osiem aksjomatów opisuje moduły, tak więc przestrzeń liniowa może być zwięźle określona jako moduł nad ciałem (nawet moduł wolny).

Siódmy aksjomat nie zapewnia łączności, gdyż obecne są w nim dwa działania, mnożenie przez skalar: $b \boldsymbol \cdot \mathbf v$ oraz mnożenie skalarów (z ciała): $a \cdot b$ .

Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

$V$ jest zamknięte ze względu na dodawanie wektorów:

Jeżeli $\mathbf u, \mathbf v \in V$ , to $\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in V$ .
$V$ jest zamknięte ze względu na mnożenie przez skalar:

Jeżeli $a \in K, \mathbf v \in V$ , to $a \boldsymbol \cdot \mathbf v \in V$ .

Jednakże nowoczesne rozumienie formalne działań jako odwzorowań o przeciwdziedzinie $V$ pociąga za sobą te stwierdzenia z definicji i dlatego eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów. Obowiązywanie aksjomatów domkniętości jest kluczem do określenia, czy podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

Należy zauważyć, że wyrażenia postaci „ $\mathbf v \boldsymbol \cdot a$ ”, gdzie $\mathbf v \in V$ oraz $a \in K$ , ściśle rzecz ujmując są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności ciała skalarów „ $a \boldsymbol \cdot \mathbf v$ ” oraz „ $\mathbf v \boldsymbol \cdot a$ ” są traktowane jako synonimy. Dodatkowo, jeżeli $\mathbf v \in V, \mathbf w \in V$ oraz $a \in K$ , gdzie przestrzeń liniowa $V$ jest zarazem algebrą nad ciałem $K$ , to $a \boldsymbol \cdot \mathbf v \centerdot \mathbf w = \mathbf v \boldsymbol \cdot a \centerdot \mathbf w$ , co czyni dogodnym rozpatrywanie „ $a \boldsymbol \cdot \mathbf v$ ” oraz „ $\mathbf v \boldsymbol \cdot a$ ” jako reprezentacji tego samego wektora.

W praktyce dla działania $\boldsymbol \cdot$ używa się często symbolu $\cdot$ lub w ogóle się go pomija, podobnie jak symbol $\cdot$ mnożenia elementów z ciała $K$ rezerwując niekiedy kropkę dla iloczynu skalarnego lub rezygnując z niej w ogóle (rodzaj mnożenia wynika zwykle jednoznacznie z rodzaju czynników).

edytuj Podstawowe własności

Istnieje kilka właściwości, które łatwo można wyprowadzić z aksjomatów przestrzeni liniowych:

wektor zerowy $\boldsymbol 0 \in V$ jest wyznaczony jednoznacznie,

jeżeli $\boldsymbol 0_1, \boldsymbol 0_2$ są zerami w $V$ takimi, że $\boldsymbol 0_1 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$ oraz $\boldsymbol 0_2 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$ , to $\boldsymbol 0_1 = \boldsymbol 0_2 = \boldsymbol 0$ ,
mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy,

dla dowolnego $a \in K$ jest $a \boldsymbol \cdot \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$ ,
mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy,

dla każdego $\mathbf v \in V$ zachodzi $0 \boldsymbol \cdot \mathbf v = \boldsymbol 0$ , gdzie $0$ jest elementem neutralnym dodawania w $K$ ,
żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera,

$a \boldsymbol \cdot \mathbf v = \boldsymbol 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $\mathbf v = \boldsymbol 0$ ,
wektor $\boldsymbol -\mathbf v$ odwrotny względem dodawania do $\mathbf v$ jest wyznaczony jednoznacznie,

niech $\mathbf{w_1}, \mathbf{w_2}$ będą odwrotnościami $\mathbf v \in V$ takimi, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_1} = \boldsymbol 0$ oraz $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_2} = \boldsymbol 0$ , wówczas $\mathbf{w_1} = \mathbf{w_2}$ . Wektor $\boldsymbol-\mathbf v$ nazywamy przeciwnym do $\mathbf v$ i definiujemy odejmowanie jako $\mathbf u \boldsymbol - \mathbf v \equiv \mathbf u \boldsymbol + (\boldsymbol -\mathbf v)$ ,
mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny,

dla każdego $\mathbf v \in V$ mamy $(-1) \boldsymbol \cdot \mathbf v = \boldsymbol-\mathbf v$ , gdzie $1$ oznacza element odwrotny względem mnożenia w $K$ .
ujemność jest całkowicie przemienna,

dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(-a) \boldsymbol \cdot \mathbf v = a \boldsymbol \cdot (\boldsymbol -\mathbf v) = \boldsymbol -(a \boldsymbol \cdot \mathbf v)$ .

edytuj Podprzestrzeń liniowa i baza

Zobacz więcej w osobnych artykułach: podprzestrzeń liniowa, baza (przestrzeń liniowa).

Niepusty podzbiór $W$ przestrzeni liniowej $V$ zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni. Równoważnie: podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem). Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierający dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową) albo że zbiór ten rozpina pewną (pod)przestrzeń; jeżeli żaden z wektorów nie może być z niej usunięty, to mówi się, że zbiór jest liniowo niezależny. Liniowo niezależny zbiór, który rozpina $V$ nazywany jest bazą $V$ .

Felix Hausdorff udowodnił, na gruncie ZFC, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest na lemacie Kuratowskiego-Zorna. Ze słabszego od aksjomatu wyboru – lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole'a (BPI) – wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Jeśli $V$ jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni $V$ i oznacza $\dim V$ . Na przykład wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej $\mathbb R^3$ , czyli $\dim \mathbb R^3$ , wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ ^[1]. Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

W 1984 roku Andreas Blass wykazał, że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru^[2].

edytuj Przykłady

Ze względu na objętość przykłady przestrzeni liniowych zostały wydzielone do osobnego artykułu: przykłady przestrzeni liniowych

edytuj Przekształcenia liniowe

Zobacz więcej w osobnym artykule: przekształcenie liniowe.

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych $V$ oraz $W$ nad tym samym ciałem $K$ można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z $V$ do $W$ . Są to funkcje $f\colon V \to W$ zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy i iloczyny skalarne. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$ , oznaczany $\operatorname{Hom}_K(V, W)$ , sam stanowi przestrzeń liniową nad $K$ . Jeżeli dane są bazy $V$ i $W$ , przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe $f\colon V \to W$ które jest jednocześnie bijekcją przestrzeni $V$ na przestrzeń $W$ . Jeśli istnieje izomorfizm między $V$ a $W$ , to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne; jako przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli $\{x_i\colon\; i \in I\}$ jest bazą przestrzeni $V$ , to $\{f(x_i)\colon\; i \in I\}$ jest bazą przestrzeni $W$ . Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie $n$ -wymiarowe nad ciałem $K$ są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych $K n$ . Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy $V = W = \{\boldsymbol 0\}$ lub gdy $V, W$ są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio $V$ i $W$ oraz $W$ i $V$ , jest odwzorowanie $\mathbf v \otimes \mathbf w \mapsto \mathbf w \otimes \mathbf v$ dla $\mathbf v \in V,\; \mathbf w \in W$ .

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem $K$ wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią, a dokładniej kategorią abelową.

edytuj Iloczyn przestrzeni

Jeśli $V, W$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem $K$ , to w iloczynie kartezjańskim $V \times W$ można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez skalar w następujący sposób:

$(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) \oplus (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) = (\mathbf{v_1} \boldsymbol + \mathbf{v_2}, \mathbf{w_1} \boldsymbol + \mathbf{w_2})$ ,

$a \odot (\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) = (a \boldsymbol \cdot \mathbf{v_1}, a \boldsymbol \cdot \mathbf{w_1})$ ,

dla $(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}), (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) \in V \times W,\; a \in K$ .

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni $V_1, \dots, V_n$ .

edytuj Uogólnienia

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ciałem, np. $K$ , można uprawiać dużą część algebry liniowej w oparciu o tą strukturę. Częsta praktyka utożsamiania $a \boldsymbol \cdot \mathbf v$ oraz $\mathbf v \boldsymbol \cdot a$ w przestrzeniach liniowych prowadzi do powstania $K - K$ bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je posiadają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne

$\Theta\colon V^2 \to V, \; (\mathbf a, \mathbf b) \mapsto \mathbf a \boldsymbol - \mathbf b$ .

edytuj Dodatkowe struktury

Rozważa się przestrzenie liniowe będące jednocześnie przestrzeniami topologicznymi. Wymaganie to zapewnia właściwie, że topologia pozwala na wprowadzenie struktury jednostajnej. Przy nieskończonym wymiarze przestrzeni istnieje zwykle więcej niż jedna nierównoważna topologia, która sprawia, że badanie topologicznych przestrzeni liniowych jest dużo ciekawsze niż zwykłych przestrzeni liniowych.

W przestrzeniach liniowo-topologicznych (zob. niżej) można wprowadzić odpowiednio pojęcie zbieżności i rozważać sumy nieskończonej liczby wektorów (szeregi). Liczba ta nie musi być przeliczalna.

Badanie zbieżności ciągów elementów takich przestrzeni jest ważne także z punktu widzenia zagadnień praktycznych. Na przykład w mechanice kwantowej, układy fizyczne definiuje się jako pewne przestrzenie Hilberta – przydatnym bywa rozwijanie elementów tych przestrzeni w (uogólniony) szereg Fouriera.

Rzeczywistą bądź zespoloną przestrzeń liniową z określonym uogólnieniem pojęcia długości wektora – normą – nazywa się przestrzenią unormowaną.
Przestrzeń liniową z określonym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzenią unitarną.
Przestrzeń unormowaną (unitarną)^[3], zupełną ze względu na metrykę generowaną przez normę (względnie normę pochodzącą od iloczynu skalarnego), nazywa się przestrzenią Banacha (przestrzenią Hilberta).
Przestrzeń liniową^[3] z wprowadzoną topologią^[4] taką, że dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe^[5] nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną. Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami przestrzeni liniowo-topologicznych. Istnieje także o wiele szersza klasyfikacja tych przestrzeni.
Przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów nazywa się algebrą nad ciałem.
Uporządkowana przestrzeń liniowa.

edytuj Zobacz też

Przypisy

↑ Wektory te są liniowo niezależne
↑ Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
↑ ^3,0 ^3,1 nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych
↑ Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy aksjomat oddzielania
↑ W sensie topologii produktowej odpowiednio w: $\scriptstyle{X\times X}$ i $\scriptstyle{K\times X}$