Przestrzeń afiniczna.html

Przestrzeń afiniczna – struktura (E,V,+) gdzie V - przestrzeń liniowa nad ciałem K, E - niepusty zbiór (punktów), a + jest funkcją przypisującą każdej parze elementów x z E ,v z V punkt z E.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykłady
4 Zobacz też

edytuj Definicja

Dla rozróżnienia wektory z V oznaczane będą czcionką pogrubioną. Operacja + jest funkcją postaci

$\,\!+:\,E \times V \rightarrow E$

spełniającą aksjomaty

1) $\forall_{p \in E}\forall_{\mathbf{v} \in V}\ p+\mathbf{v}=p \iff \mathbf{v}=\mathbf{0}$

2) $\forall_{p,q \in E} \exists_{\mathbf v \in V} \ p=q+\mathbf{v}$

3) $\forall_{\mathbf{x},\mathbf{y} \in V} \forall_{p \in E} \ p+(\mathbf{x}+\mathbf{y})=(p+\mathbf{x})+\mathbf{y}$

Elementy zbioru E nazywane są punktami przestrzeni afinicznej, a przestrzeń V nazywana jest przestrzenią wektorów swobodnych.

edytuj Własności

Bazą przestrzeni afinicznej nazywamy układ (o;B) gdzie o jest pewnym wyróżnionym punktem z E a B jest bazą przestrzeni V. Punkt o nazywany jest punktem bazowym lub początkiem układu bazowego.

Dla dowolnych punktów p,q należących do E wektor v taki, że p=q+v oznaczany jest p-q i nazywany różnicą punktów. Wektor taki wyznaczony jest jednoznacznie.

Jeżeli V jest przestrzenią unitarną nad ciałem R, to przestrzeń afiniczną (E,V,+) nazywamy przestrzenią euklidesową. W przestrzeni takiej można wprowadzić metrykę d na zbiorze E. Jeżeli v =q-p to d zdefiniowana jest następująco:

$d(p,q):=\Vert \mathbf{v} \Vert = \sqrt{\langle \mathbf{v}|\mathbf{v} \rangle}$

gdzie <·|·> jest iloczynem skalarnym w V.

edytuj Przykłady

Istotnym, choć trywialnym, przykładem przestrzeni afinicznej jest trójka (V,V,+), gdzie V jest przestrzenią liniową, a + jest dodawaniem wektorów w tej przestrzeni.

Przestrzeń afiniczna.html

Spis treści

edytuj Definicja

edytuj Własności

edytuj Przykłady

edytuj Zobacz też