Przestrzeń Banacha.html

Spis treści

1 Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha
- 1.1 Baza przestrzeni Banacha
- 1.2 Baza Schaudera
2 Przykłady
3 Operatory liniowe
4 Przestrzeń sprzężona
5 Bibliografia
6 Przypisy
7 Zobacz też

Przestrzeń Banacha (rzadziej B-przestrzeń) – przestrzeń unormowana z normą zupełną (tzn. metryka w tej przestrzeni generowana przez normę jest zupełna). Innymi słowy, przestrzeń Banacha to przestrzeń unormowana, w której każdy ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny.

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w p-tej potędze^[1]. Norbert Wiener i Stefan Banach^[2] zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Maurice Fréchet użył po raz pierwszy^[3] nazwy przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) dla uhonorowania polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej i matematyki w ogóle.

edytuj Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha

Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność ciągów elementów tych przestrzeni, które są normowo zbieżne. Mianowicie:

Przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni.

W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne - nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych - szeregami warunkowo zbieżnymi. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych (z normą "wartość bezwzględna") jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, dokładniej:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}=\ln 2$ ,

podczas gdy szereg

$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$

jest rozbieżny.

edytuj Baza przestrzeni Banacha

Niech $X$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu $x\in X$ istnieje ciąg skalarów $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ taki, że

$x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$

Oczywiście, jeśli istnieje baza przestrzeni $X$ , to jest ona złożona z niezerowych wektorów liniowo niezależnych oraz domknięcie podprzestrzeni generowanej przez wektory bazowe jest całą przestrzenią, tzn.

$\mbox{cl lin}\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}=X$ .

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę to jest ośrodkowa ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granica ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona). Tak zdefiniowana baza przestrzeni Banacha nie jest oczywiście bazą w sensie algebry liniowej. Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela.

edytuj Baza Schaudera

Niech $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni $X$ . Jeśli istnieje ciąg $(e_n^\star)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów przestrzeni $X^\star$ ^[4] taki, że

$e_k^\star(e_j)=0$ dla $k\neq j$ oraz $e_k^\star(e_k)=1$ dla $k\in\mathbb{N}$
każdy element $x\in X$ można przedstawić w postaci

$x=\sum_{n=1}^\infty e_n^\star(x)e_n$ ,

to ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nazywamy bazą Schaudera przestrzeni $X$ natomiast ciąg $(e_n^\star)_{n\in\mathbb{N}}$ nazywamy ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie ponieważ obie definicje są równażne: Ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest bazą przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest bazą Schaudera tej przestrzeni. Definicje te nie są równażne w dowolnych przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie wypukłych.

edytuj Przykłady

W dalszym ciągu $K$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

edytuj Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe.

Każde z tych ciał traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą jest przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W szczególności, ciało $K$ , jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest skończenie (jedno-) wymiarowa. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia. W przestrzeniach współrzędnych $K n$ najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezględnej. Dla elementów postaci $x = (x_1, \dots, x_n)\in K^n$ norma ta dana jest wzorem

$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$ .

W przypadku, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, normę tę często oznacza się po prostu $|\cdot |$ . Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

$\|x\| = \sup_{1\leq i\leq n} |x_i|$ .

edytuj Przestrzenie funkcji ciągłych

Przestrzeń $C (a, b)$ wszystkich funkcji ciągłych $f\colon [a,b]\to K$ , z normą daną wzorem

$\|f\| = \sup \{|f(x)|: x \in [a, b]\}$

jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ta (z działaniem mnożenia funkcji określonym standardowo) jest jednocześnie przykładem algebry Banacha.

Ogólniej, jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $(Y, \|\cdot\|_Y)$ przestrzenią Banacha, to przestrzeń $C (X, Y)$ funkcji ciągłych $f\colon X\to Y$ z normą

$\|f\|=\sup \{\|f(x)\|_Y\colon\, x\in X\}$

jest przestrzenią Banacha.

edytuj Przestrzenie l ^p i L^p

Zobacz też: Przestrzeń Lp.

Dla ustalnego $p\in [1,\infty)$ , można zdefiniować przestrzenie ciągów liczbowych $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ takich, że

$\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p<\infty$

Przestrzenie te oznaczamy symbolem $\ell^p$ . Są to przestrzenie przestrzenie liniowe, które z normą określoną wzorem

$\|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

są przestrzeniami Banacha. W przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych, można zdefiniować normę

$\|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|, \dots)$ .

Przestrzeń $\ell^\infty$ jest również przestrzenią Banacha.

Dla $p \geq 1$ rozważmy przestrzeń $V$ wszystkich funkcji $f\colon [a, b] \to K$ takich, że funkcja $| f | p$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a. W przestrzeni $V$ rozważmy relację $f\sim g \iff \|f-g\|=0$ . Jest to relacja równoważności. Przestrzeń ilorazowa $V / ˜$ jest przestrzenią Banacha. Oznaczamy ją $L p a, b$ i nazywamy przestrzenią funkcji całkowalnych w $p$ -tej potędze.

Jeżeli $U$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni Banacha $V$ , to $U$ jest przestrzenią Banacha. Również przestrzeń ilorazowa $V / U$ jest przestrzenią Banacha.

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha.

edytuj Operatory liniowe

Zbiór $L (X; Y)$ odwzorowań liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha $X$ w przestrzeń Banacha $Y$ z normą

$\|T\|=\inf_{A>0}\{\|T(x)\|\leq A\|x\|\colon x\in X\}$ dla $T\in L(X;Y)$

jest przestrzenią Banacha. Można wykazać, że

$\|T\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\|T(x)\|$ .

Przestrzeń $L (X): = L (X, X)$ z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest unitarną algebrą Banacha.

edytuj Przestrzeń sprzężona

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to przestrzeń $L (X, K)$ funkcjonałów liniowych ciągłych jest również przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznaczamy $X *$ i nazywamy przestrzenią sprzężoną z $X$ – pozwala ona zdefiniować na $X$ tak zwaną słabą topologię, tj. najsłabszą topologię względem której ciągłe są elementy przestrzeni $X *$ .

Przestrzeń $X$ można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni $(X *) * = X * *$ (sprzężonej ze sprzężoną). Wystarczy każdemu elementowi $x \in X$ przypisać funkcjonał $\kappa(x)\colon X^* \to K$ określony równością $κ(x)(x *) = x * x$ , a zatem określone jest liniowe odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ .

Jeżeli odwzorowanie $κ$ jest "na", to przestrzeń $X$ nazywamy refleksywną.

edytuj Bibliografia

Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. — Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901

Przypisy

↑ dla $\scriptstyle{p\in [1,\infty]}$
↑ Banach, Stefan: Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales. "Fundamenta Mathematicae" 3 (1922).
↑ Fréchet, Maurice: Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'Analyse générale, Paryż, Gauthier-Villars (1928)
↑ zob. akapit Przestrzeń sprzężona

edytuj Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki