WikiPortallus: Prosta.html

Prosta lub linia prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii. W matematyce jest to szczególny przypadek krzywej (choć wydawać by się mogło, że to stwierdzenie sprzeczne). Potocznie:

W matematyce rozważane są także inne geometrie, w których powyższa definicja musi być nieco inaczej rozumiana. Na przykład geometria powierzchni kuli (tzw. geometria sferyczna) była już w I w. n.e. rozwijana na potrzeby podróżników i astronomów^[2]. Pojęcie prostej można uogólnić także na geometrie nieeuklidesowe^[3]. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw. linie geodezyjne^[4] czyli linie określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami. Według tej ogólnej definicji:

Obecnie formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej w każdym punkcie krzywiźnie geodezyjnej (czyli zerowej pochodnej kowariantnej dla kierunku krzywej w danym punkcie), więc w pewnym sensie nadal są one liniami niezakrzywionymi.

W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, nie definiowanym formalnie w obrębie geometrii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Ten temat szerzej omówiony jest tutaj.

Traktując prostą jako zbiór punktów przestrzeni afinicznej, można wykazać, że jest ona równoliczna z każdym odcinkiem niezdegenerowanym do punktu.

edytuj Geometria euklidesowa

edytuj Intuicyjny opis dla geometrii euklidesowej

Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „nie zakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową grubość.

Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.

edytuj Definicja Euklidesa

Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który w III w. p.n.e. w swoim dziele Elementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.

Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej, kąta. Prostą definiował tak:

Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.

Euklides sformułował też aksjomaty geometrii, tzw. pewniki^[10]. Ze względu na odkryte luki w aksjomatyce Euklidesa, wprowadzono aksjomatykę Hilberta, która dziś jest najczęściej stosowanym sposobem aksjomatyzacji przestrzeni euklidesowej. Więcej na ten temat pewników Euklidesa i konsekwencjach ich modyfikacji w sekcji geometrie nieeuklidesowe niniejszego artykułu.

Podejście Euklidesa zaowocowało ciekawym przejawem kultury starożytnych Greków – twierdzenia geometryczne chętnie dowodzili używając cyrkla i liniału, czyli kreśląc okręgi i proste. Są to tzw. klasyczne konstrukcje geometryczne. W 1833 r. udowodniono, że wszystkie takie konstrukcje można wykonać także przy pomocy samych prostych, o ile tylko dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. (twierdzenie Ponceleta-Steinera)^[11]

edytuj Pojęcie pierwotne a zbiór punktów

W oryginalnym ujęciu geometrii euklidesowej prosta jest pojęciem pierwotnym. Pojęcie pierwotne ze swej natury nie jest formalnie definiowane w języku danej teorii. Z drugiej strony podaje się też formalną definicję prostej jako zbioru punktów spełniających pewne równanie. Ta sprzeczność jest jednak pozorna.

Pojęcia pierwotne nie są definiowane w języku danej teorii, są po prostu symbolami których własności opisują aksjomaty, założenia budujące podwaliny tej teorii matematycznej. Można jednak stworzyć tzw. model^[12] tej teorii, to znaczy zdefiniować takie obiekty matematyczne, które podstawione jako pojęcia pierwotne^[13] spełniają wszystkie jej aksjomaty (w tym wypadku pewniki Euklidesa^[14] lub aksjomaty Hilberta). Aby obiekty te dało się zdefiniować, model musi opierać się na pojęciach spoza modelowanej teorii. Takim powszechnie dziś przyjmowanym modelem geometrii euklidesowej jest tzw. przestrzeń kartezjańska opierająca się na aparacie analizy matematycznej.

Przestrzeń kartezjańska jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż pozwala na sprowadzenie wszelkich twierdzeń geometrycznych do postaci liczbowej, co zwykle upraszcza dowodzenie. Okazało się zresztą, że aksjomaty Euklidesa nie są wystarczające^[15] i pewnych twierdzeń nie da się w oparciu o nie rozstrzygnąć^[16]. Można to jednak zrobić w przestrzeni kartezjańskiej. Dział geometrii badający obiekty geometryczne przy pomocy metod analizy matematycznej nosi nazwę geometrii analitycznej.

Współcześnie mówiąc „przestrzeń euklidesowa” ma się zwykle na myśli jej model w postaci przestrzeni kartezjańskiej.

edytuj Własności

edytuj Niektóre ważne proste

edytuj Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)

Prosta jest jednowymiarową podprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej n-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).

Jeśli dany jest punkt

B

i niezerowy wektor

α

, to prostą generowaną przez wektor

α

i przechodzącą przez punkt

B

nazywamy zbiór punktów

P

dla których istnieje liczba rzeczywista

t

taka, że

Najmniejszą ^[18] podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty

P, Q

jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy

af(P, Q)

Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.

edytuj Równanie ogólne

W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej, każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób:

Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych

[ - B, A

jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor

A, B

jest prostopadły do prostej. Jeśli

A = 0

, to prosta jest równoległa do osi

O x

, jeśli

B = 0

– do osi

O y

, jeśli

C = 0

, przechodzi przez środek układu współrzędnych.

Współczynniki

A

B

nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla

C = 0

całą płaszczyznę, a dla $C \neq 0$ zbiór pusty (nie ma rozwiązań).

Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:

lub, jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

edytuj Równanie normalne

Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki

A

B

C

przez długość (normę) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwych zwrotów tego wektora, np. tak jak poniżej^[19]:

Otrzymujemy w ten sposób tzw. równanie normalne, czyli równanie prostej położonej pod kątem

α

do osi

O y

i odległej o

p

od środka układu współrzędnych:

Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem

A

B

(

C

jest wtedy zerem). Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.

edytuj Równanie w postaci kierunkowej

Jeśli prosta nie jest równoległa do osi rzędnych (Oy), równanie prostej można zapisać w tzw. postaci kierunkowej:

edytuj Równanie parametryczne

Prosta

l

o (niezerowym) wektorze kierunkowym

α = u 1, u 2

, przechodząca przez punkt

A = (x A, y A)

to zbiór punktów

P = (x, y)

, takich że

Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

Przy tym

x A

y A

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast

u 1

u 2

są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt

A

, a nie całą prostą.

edytuj Równanie kanoniczne

Pod założeniami z poprzedniego ustępu, prostą

l

można opisać równaniem:

W przypadku, gdy

u 1

lub

u 2

jest zerem, przydatne może być zapisanie równania w postaci:

edytuj Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa różne punkty

(x A, y A)

(x B, y B)

, to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci:

edytuj Równanie odcinkowe

Równanie prostej, przecinającej oś

O x

w punkcie

(a,0)

, gdzie $a\neq 0$ i oś

O y

w punkcie

(0, b)

, gdzie $b\neq 0$ :

edytuj Postać biegunowa równania

Prostą można też wyrazić w biegunowym układzie współrzędnych $(\varphi, r)$ . Równanie prostej nie przechodzącej przez biegun przyjmuje wówczas postać

Jeśli prosta przechodzi przez biegun, to jej równanie ma postać

φ = α + k π

, gdzie:

edytuj Odległość punktu od prostej

Wyrażenie

x P cosα + y P sinα - p

ma wartość dodatnią, gdy punkt

P

oraz początek układu współrzędnych leżą po przeciwnych stronach danej prostej, ujemną – jeśli leżą po tej samej stronie i zero, jeśli

P

leży na prostej.

edytuj Wzajemne położenie na płaszczyźnie

Jeśli

W A B = 0

, ale $W_{BC}\ne 0$ to zachodzi także $W_{CA}\ne 0$ i proste $k, l$ są równoległe

Jeśli

W A B = W B C = 0

, to również

W C A = 0

i proste pokrywają się (

k = l)

(równania opisują ten sam zbiór punktów).

lub, jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

edytuj Kąt między dwiema prostymi

Kąt pomiędzy dwiema prostymi jest wyznaczony przez półproste, których początek znajduje się w punkcie przecięcia prostych.

Jeśli proste znajdują się w przestrzeni trójwymiarowej i nie mają punktów wspólnych, tzw. proste skośne, wówczas kąt między nimi mierzy się za pomocą prostych do nich równoległych, które mają wspólny punkt.

Jeśli w przestrzeni afinicznej $\mathbb R^n$ ze zwykłym iloczynem skalarnym proste przedstawimy w postaci parametrycznej: $l_1=P_1+\operatorname{lin}(\alpha_1)$ , $l_2=P_2+\operatorname{lin}(\alpha_2)$ , to miara kąta między tymi prostymi wyraża się wzorem

edytuj Trzy punkty na prostej

Trzy punkty leżą na jednej prostej (są współliniowe) wtedy i tylko wtedy, gdy

edytuj Trzy proste przecinające się w jednym punkcie

edytuj Pęki prostych

Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany (ustalony) punkt nazywamy pękiem prostych, a dany punkt środkiem pęku. Środek pęku może być zadany wprost lub jako punkt przecięcia dwóch prostych. Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste zapisujemy w postaci:

Każda prosta przechodząca przez środek pęku da się przedstawić powyższym równaniem (jest współpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.

Zbiór prostych równoległych na płaszczyźnie (o wspólnym wektorze kierunkowym) nazywamy kierunkiem albo niewłaściwym pękiem prostych.

edytuj Przestrzeń trójwymiarowa

Równania określające prostą w przestrzeni trójwymiarowej łatwo otrzymać z podanych poniżej równań dla przestrzeni wielowymiarowej. Należy tylko, zgodnie z tradycją, zamiast

x 1, x 2, x 3

napisać odpowiednio

x, y, z

i przyjąć liczbę wymiarów

n = 3

edytuj Przestrzeń wielowymiarowa

Dwie proste na płaszczyźnie mogą być albo równoległe (szczególnym przypadkiem są proste identyczne), albo przecinać się (czyli mieć jeden punkt wspólny). Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej (oraz dla większej liczby wymiarów) oprócz tego mogą być skośne, czyli nie przecinać się, ale nie być też równoległe.

Każde równanie w układzie równań liniowych z niewiadomymi będącymi liczbami rzeczywistymi zmniejsza o jeden maksymalną liczbę wymiarów zbioru rozwiązań układu. Aby więc opisać twór jednowymiarowy (prostą) w przestrzeni o n wymiarach trzeba użyć układu n-1 równań liczbowych. Czasem można ten układ łatwo zapisać jako jedno równanie wektorowe.

We wszystkich poniższych wzorach indeksy dolne oznaczają kolejne współrzędne przestrzeni wielowymiarowej, a punkty definiowanej prostej mają współrzędne postaci $(x_1,x_2, \dots, x_n)$ . n to liczba wymiarów przestrzeni.

edytuj Równanie parametryczne

W przestrzeni kartezjańskiej n-wymiarowej najwygodniej określać prostą za pomocą równania parametrycznego.

W tym ujęciu prosta

l

o (niezerowym) wektorze kierunkowym $\alpha =[u_1,u_2,\ldots, u_n]$ , przechodząca przez punkt $A=(a_1, \ldots, a_n)$ to zbiór punktów $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ takich, że

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, oznacza się to $l=A+\operatorname{lin}(\alpha)$ .

Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

Przy tym $a_1, a_2, \dots, a_n$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast $u_1, u_2, \dots, u_n$ są również liczbami rzeczywistymi, z których chociaż jedna musi być różna od zera. Wówczas bowiem prosta zdegenerowałaby się do punktu.

Równań w tym układzie jest n, a nie n-1, jak w pozostałych podejściach, gdyż wprowadziliśmy kolejną zmienną t, więc konieczne jest n-te równanie, aby otrzymać prostą a nie płaszczyznę.

edytuj Równania ogólne

Prosta w n-wymiarowej przestrzeni o współrzędnych może być opisana jako część wspólna n-1 hiperpłaszczyzn (dla przestrzeni trójwymiarowej po prostu dwóch płaszczyzn). Sprowadza się to do układu równań:

edytuj Równania kanoniczne

Prostą przechodzącą przez punkt $P=(p_1,p_2,\dots,p_n)$ i równoległą do wektora kierunkowego $\vec u=[u_1,u_2,\dots,u_n]$ określają równania:

gdzie wektor wodzący $\vec r_x=[x_1,x_2,\dots,x_n]$ i analogicznie $\vec r_P=[p_1,p_2,\dots,p_n]$

Można też te równania interpretować jako określające prostą przechodzącą przez punkt P i prostopadłej do hiperpłaszczyzny danej równaniem $u_1 x_1+u_2 x_2+\dots+u_n x_n+D=0$

edytuj Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa punkty $(a_1, \dots, a_n)$ i $(b_1, \dots, b_n)$ , to równania prostej przechodzącej przez te punkty są postaci:

edytuj Kąt między prostymi w przestrzeni

Kąt między dwiema przecinającymi się prostymi, danymi za pomocą równań w postaci kierunkowej:

Jeśli proste nie przecinają się, wzór pokazuje kąt między prostymi po ich przesunięciu bez zmiany kierunków tak, aby się przecinały.

edytuj Kąt między prostą a płaszczyzną

edytuj Geometrie nieeuklidesowe

Euklides podał pięć postulatów, tworzących fundamenty jego geometrii^[20]. Szczególnie interesujący jest piąty z nich, tzw. postulat równoległości, który w oryginalnej wersji brzmiał

Sformułowanie to było długie i stosunkowo mało oczywiste w porównaniu z innymi pewnikami, jednak było Euklidesowi niezbędne do przeprowadzenia wielu ważnych dowodów.^[21] Współczesnym Euklidesa nie udało się wyprowadzić go z pozostałych aksjomatów i w ten sposób usunąć z grona niezbędnych postulatów geometrii. Ostatecznie późniejsi matematycy odkryli, że nie można go w ogóle usunąć, da się jednak zastąpić prostszą, równoważną wersją, np.

Zmieniając sens tego postulatu, przy zachowaniu niezmienionych pozostałych, możemy uzyskać spójne i niesprzeczne systemy, tzw. geometrie nieeuklidesowe, które dobrze opisują przestrzeń zakrzywioną, np. geometrię powierzchni kuli.

Można też wyobrazić sobie przestrzeń, która w niektórych obszarach ma właściwości geometrii hiperbolicznej, w innych geometrii eliptycznej a w jeszcze innych euklidesowej – takie przestrzenie opisuje uogólnienie wszystkich tych geometrii, zwane geometrią Riemanna.

Proste w geometriach nieeuklidesowych nadal mogą być zdefiniowane jako nieograniczone linie geodezyjne danej przestrzeni, tak jak zasygnalizowano na początku artykułu. Tak zdefiniowane proste spełniają wszystkie aksjomaty Euklidesa, za wyjątkiem postulatu równoległości. Ta definicja pasuje także do geometrii euklidesowej, gdzie wyznacza zwykłe proste.

edytuj Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego)

W geometrii hiperbolicznej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające jej (zob. rysunek). W tej geometrii dla każdego kąta występuje też tzw. prosta zagradzająca – prosta, która jest jednocześnie równoległa do obydwu jego ramion.

Istnieje kilka różnych modeli geometrii hiperbolicznej. Proste są w nich różnie interpretowane, jednak idzie za tym zmiana definicji pojęcia odległości:

edytuj Geometria eliptyczna (sferyczna)

W geometrii sferycznej, której model stanowi powierzchnia kuli (także kuli ziemskiej) nie istnieją dwie proste nie przecinające się. Punktami w tej geometrii są zbiory dwóch punktów euklidesowych leżących po przeciwnej stronie sfery, a prostymi tzw. okręgi wielkie^[22] sfery, czyli okręgi na jej powierzchni, których środek pokrywa się ze środkiem sfery.

Przykładowe okręgi wielkie na rysunku obok są oznaczone ciągłymi liniami. Inne okręgi (oznaczone przerywanymi liniami) nie są prostymi tej geometrii, gdyż nie wyznaczają najkrótszych dróg. Pomiędzy dwoma dowolnymi punktami sfery można bowiem przejść po łukach nieskończonej liczby różnych okręgów, ale tylko jeden z tych okręgów będzie okręgiem wielkim, i ta właśnie trasa będzie najkrótsza - jest to tak zwana ortodroma. Z definicji zatem łuki okręgów wielkich to odcinki w geometrii sferycznej, łuki pozostałych okręgów odcinkami nie są.

gdzie A, B i C są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które nie są jednocześnie wszystkie trzy równe zeru.

Sfera jest przykładem przestrzeni ograniczonej, w której proste również są ograniczone. Jednak nawet tutaj okręgi wielkie pozostają liniami geodezyjnymi i nie posiadają zakończeń.

edytuj Czasoprzestrzeń

W szczególnej oraz ogólnej teorii względności przestrzeń fizyczna i czas są związane tworząc w sensie matematycznym czterowymiarową czasoprzestrzeń. W szczególnej teorii względności czasoprzestrzeń ta jest przestrzenią Minkowskiego, a w ogólnej teorii względności przestrzenią pseudoriemannowską będącą modyfikacją geometrii Riemanna. W obydwu teoriach linia świata ciała na które nie działa żadna siła jest linią prostą (geodezyjną). W ogólnej teorii względności grawitacji nie uznaje się za oddziaływanie, lecz czynnik, który zakrzywia czasoprzestrzeń^[23]. Ciało oddziaływujące grawitacyjnie nadal przemieszcza się po prostej (analogicznie do pierwszej zasady dynamiki Newtona), jednak nie jest to prosta przestrzeni fizycznej, lecz prosta w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Stąd z punktu widzenia geometrii euklidesowej porusza się ono (w przestrzeni fizycznej) po zakrzywionym torze. Grawitacja nie jest interpretowana jako siła działająca na ciało, a jako zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której to ciało się porusza^[24].

Wzajemne położenie punktów w czasoprzestrzeni jest dzielone na trzy typy w zależności od wartości interwału czasoprzestrzennego (odpowiednik odległości). Ponieważ wszystkie punkty prostej w czasoprzestrzeni mają ten sam typ, proste także możemy podzielić na:

Krzywa

x α (s)

, która ma w punkcie

s

kierunek

d x α / d s = U α (s)

jest linią geodezyjną (prostą w czasoprzestrzeni) jeśli

co oznacza, że jej pochodna kowariantna dla jej kierunku w danym punkcie jest równa zeru.

edytuj Inne przestrzenie i geometrie

edytuj Przestrzeń liniowa (wektorowa)

Jeśli $\vec U$ jest wektorem niezerowym, to prosta jest zbiorem wektorów $\vec W$ , dla których istnieje skalar

k

(rzeczywisty dla przestrzeni wektorowej należącej do $\mathbb R$ ) taki, że $\vec W = k\vec U$ . Mówimy, że wektory $\vec U$ i $\vec W$ są liniowo zależne lub współliniowe.

edytuj Przestrzeń metryczna

W przestrzeni metrycznej naturalnym uogólnieniem prostych są linie geodezyjne, jak podano na wstępie.

edytuj Geometria rzutowa

Geometria rzutowa bada własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się pod wpływem tzw. przekształceń rzutowych, czyli dla płaszczyzny przekształceń, które przekształcają proste zawsze w proste (a nie w inne obiekty).

Takie ujęcie pozwala uzyskać szereg interesujących własności, np. dowolne dwie nie identyczne proste przecinają się zawsze w jednym punkcie.

Najelegantszym wynikiem geometrii rzutowej jest zasada dualności mówiąca, iż dowolne prawdziwe twierdzenie pozostaje w obrębie tej geometrii prawdziwe, jeśli zamienimy w nim pojęcia „prosta” i „punkt” (i odpowiednio „przechodzi przez” z „leży na”).

edytuj Geometria wykreślna

Geometria wykreślna jest szeroko używaną w technice i architekturze nauką stosowaną, zajmującą się sposobami jednoznacznego przedstawiania trójwymiarowych obiektów w formie rzutów prostokątnych na prostopadłe płaszczyzny (tzw. rzutnie).

Proste odwzorowywane są następująco: przez daną prostą prowadzimy płaszczyzny $\varepsilon_1$ i $\varepsilon_2$ prostopadłe odpowiednio do rzutni

π 1

π 1

, tzw. płaszczyzny rzutujące. Ich krawędzie przecięcia z rzutniami to właśnie rzuty poziomy i pionowy prostej.

Takie dwa rzuty prostej jednoznacznie ją identyfikują, z wyjątkiem przypadku prostej prostopadłej do osi

x

i nierównoległej do żadnej z pozostałych osi. Jej rzuty są identyczne z rzutami dowolnej innej prostej na płaszczyźnie prostopadłej do osi

x

. Aby jednoznacznie ją odwzorować, konieczne jest przedstawienie dodatkowo rzutów dwóch dowolnych jej punktów.

Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z rzutni, jej rzut na tę rzutnię staje się punktem i zbędne staje się prowadzenie płaszczyzny prostopadłej do tej rzutni.

Niektóre proste mają szczególne nazwy ze względu na położenie względem rzutni:

edytuj Zobacz też

Przypisy

↑ Zobacz aksjomat Archimedesa
↑ Trygonometrią sferyczną zajmował się w I w. n.e. Menelaos z Aleksandrii, a po nim Ptolemeusz Klaudiusz. Źródło: [1]
↑ Aby było to możliwe, przestrzeń musi być tzw. G-przestrzenią Herberta Busemanna, będącą szczególnym przypadkiem przestrzeni metrycznej.
↑ en:Geodesic
↑ "Nieposiadająca końców" to co innego niż "nieograniczona". Zobacz sekcję geometria sferyczna
↑ Dostatecznie bliskich, czyli oddalonych od siebie o mniej niż pewna ustalona dla danej geodezyjnej dodatnia liczba rzeczywista. Linia geodezyjna w ogólnym przypadku nie musi być najkrótszą drogą pomiędzy dowolnymi swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie jest najkrótszą drogą pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca. Proste w przestrzeni euklidesowej i na sferze zawierają jednak najkrótsze drogi pomiędzy dowolnie oddalonymi swoimi punktami.
↑ Księga I, Definicja 2
↑ Księga I, Definicja 4
↑ Księga I, Definicja 23
↑ Księga I - Postulaty
↑ Można je też wykonać samym cyrklem (twierdzenie Mohra-Mascheroniego)
↑ http://mathworld.wolfram.com/Model.html
↑ Jedna teoria może mieć wiele modeli, nie jest to więc definiowanie pojęć pierwotnych, bo wówczas każde pojęcie pierwotne miałoby wiele wykluczających się definicji.
↑ http://www.theory.caltech.edu/people/patricia/sptmb.html
↑ http://www.mathpath.org/concepts/geometries.htm
↑ np. twierdzenie Desarguesa oraz twierdzenie Pappusa
↑ w sensie metryki euklidesowej
↑ w sensie inkluzji
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, str. 262
↑ Zobacz przestrzeń euklidesowa
↑ Na przykład aksjomat ten jest niezbędny do udowodnienia twierdzenia Pitagorasa oraz twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta, równej 180°
↑ Na ogół w polskiej literaturze pisze się o "kołach wielkich" sfery, jednak jest to niekonsekwentne, gdyż koło to figura z wnętrzem, a krzywa będąca jej brzegiem to okrąg. W literaturze anglosaskiej spotykamy się za to konsekwentnie z określeniem great circle a nie great disk.
↑ en:Geodesic (general relativity)
↑ Ściślej: grawitacja to zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której znajduje się trajektoria danego ciała. Trajektoria jest w czasoprzestrzeni statyczną i niezmienną krzywą. W czasoprzestrzeni formalnie nic się nie zmienia ani nie porusza, bo obejmuje ona wszystkie chwile czasowe jednocześnie.

Prosta.html

Spis treści

edytuj Geometria euklidesowa

edytuj Intuicyjny opis dla geometrii euklidesowej

edytuj Definicja Euklidesa

edytuj Pojęcie pierwotne a zbiór punktów

edytuj Własności

edytuj Niektóre ważne proste

edytuj Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)

edytuj Równanie ogólne

edytuj Równanie normalne

edytuj Równanie w postaci kierunkowej

edytuj Równanie parametryczne

edytuj Równanie kanoniczne

edytuj Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty

edytuj Równanie odcinkowe

edytuj Postać biegunowa równania

edytuj Odległość punktu od prostej

edytuj Wzajemne położenie na płaszczyźnie

edytuj Kąt między dwiema prostymi

edytuj Trzy punkty na prostej

edytuj Trzy proste przecinające się w jednym punkcie

edytuj Pęki prostych

edytuj Przestrzeń trójwymiarowa

edytuj Przestrzeń wielowymiarowa

edytuj Równanie parametryczne

edytuj Równania ogólne

edytuj Równania kanoniczne

edytuj Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

edytuj Kąt między prostymi w przestrzeni

edytuj Kąt między prostą a płaszczyzną

edytuj Geometrie nieeuklidesowe

edytuj Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego)

edytuj Geometria eliptyczna (sferyczna)

edytuj Czasoprzestrzeń

edytuj Inne przestrzenie i geometrie

edytuj Przestrzeń liniowa (wektorowa)

edytuj Przestrzeń metryczna

edytuj Geometria rzutowa

edytuj Geometria wykreślna

edytuj Zobacz też

Przypisy

edytuj Bibliografia

edytuj Literatura dodatkowa

edytuj Linki zewnętrzne