Potęga.html

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7.

Potęga, potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. Zapisywana jest jako $a^{n}\;$ co oznacza $n\;$ -krotne mnożenie $a\;$ przez siebie, przy czym $a\;$ nazywamy podstawą potęgi a $n\;$ wykładnikiem potęgi. Na przykład:

$3^{4}=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=81\;$

Podstawą potęgi w tym przykładzie jest liczba 3 a wykładnikiem liczba 4. Zapis $a^n\;$ czytamy $a\;$ podniesione do potęgi $n\;$ lub krótko $a\;$ do potęgi $n\;$ .

Początkowo potęga zdefiniowana była tylko dla wykładników będących liczbami naturalnymi, stopniowo jednak rozszerzono definicję tak, by obejmowała także liczby ujemne, wymierne, rzeczywiste i zespolone.

Drugą potęgę nazywa się kwadratem a trzecią sześcianem. Określenia te zwykle stosuje się do liczb, ale równie dobrze można mówić o sześcianie macierzy czy kwadracie (kartezjańskim) zbioru. Pochodzą one z geometrii, gdyż pole kwadratu o boku $a\;$ wynosi $a^2\;$ , a objętość sześcianu o boku $a\;$ wynosi $a^3\;$ .

edytuj Potęgowanie w analizie matematycznej

edytuj Liczby rzeczywiste

Zobacz w Wikiźródłach tablicę potęg

Elementarna definicja potęgowania liczb rzeczywistych składa się z kilku kroków:

$0^{0}\;$ albo nie jest określone albo przyjmuje się $0^{0}=1\;$ (czytaj niżej);
jeśli $y\;$ jest równe zeru, a $x\;$ jest niezerowe, to $x^y=1\;$ bez jakichkolwiek kontrowersji;
jeśli $y\;$ jest inną liczbą naturalną, wynikiem jest $y\;$ -krotne pomnożenie $x\;$ przez siebie, np. $x^3=x\cdot x\cdot x$ ; tę zasadę można zapisać rekurencyjnie: $x^1=x,\ x^{n+1}=x^n\cdot x$ ;
jeśli $y\;$ jest ujemną liczbą całkowitą, $x^y=\frac{1}{x^{|y|}}$ ;
jeśli $x\;$ jest nieujemne a $y\;$ jest liczbą wymierną i $y = \frac{l}{m}$ , wtedy $x^y=\sqrt[m]{x^l}$ (potęga jest zdefiniowana przez pierwiastek arytmetyczny);
jeśli $x\;$ jest nieujemne a $y\;$ jest liczbą niewymierną, wtedy konstruujemy ciąg liczb wymiernych $y_1,y_2,\dots$ o granicy w $y\;$ i wtedy $x^y=\lim_{n\to\infty}x^{y_n}$ .

edytuj Alternatywne definicje

Równoważną definicję potęgowania liczb dodatnich można uzyskać:

Przez równanie funkcyjne: potęga $a^x\;$ to jedyna ciągła funkcja $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , że $\forall a, b \in \mathbb R (f(a+b)=f(a)f(b))$ oraz $f(1)=a\;$ .
Definiując funkcje $\exp x\;$ i $\ln x\;$ a następnie potęgę korzystając ze związku $x y = e y ln x$ . Możliwości określenia tych funkcji jest wiele, np. za pomocą szeregu potęgowego $\exp x=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}$ , całki oznaczonej $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ lub też jednej funkcji jako funkcji odwrotnej do drugiej.

edytuj Liczby zespolone

Potęga w dziedzinie liczb zespolonych jest niejednoznaczna i miewa nieskończoną liczbę wartości.

Zachodzi:

$x^y = ({e^{\ln x}})^y = e^{y \ln x}\;$

W dziedzinie zespolonej $ln x$ jest funkcją wielowartościową a różnica pomiędzy jego wartościami to $k \cdot 2 \pi i$ , dla dowolnego całkowitego $k\;$ .

Jeśli $z\;$ będzie dowolnym wybranym logarytmem $x\;$ , to:

$x^y = e^{y (z + 2i\pi k)} = e^{yz} e^{y 2i\pi k}\;$

Zbiór wartości ciągu $2i \pi yk \mod 2i \pi$ , czyli $yk \mod 1$ będzie skończony i będzie miał $n\;$ elementów dla $y = c/n\;$ ( $c\;$ i $n\;$ względnie pierwsze). Tylko wtedy potęga w dziedzinie zespolonej ma skończoną liczbę wartości.

Dla $y\;$ całkowitego wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre'a.

edytuj Kwaterniony

Potęgowanie dla kwaternionów można określić wzorem analogicznym dla liczb zespolonych:

$y^x=\exp(x \ln y).\;$

edytuj Własności

Podstawowe własności potęgowania:

$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}$
$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$

$a^{({m \over n})} = \sqrt[n]{a^m},\quad n \ne 0$

Równości te są spełnione gdy podstawy i wykładniki są liczbami rzeczywistymi lub ogólniej zespolonymi. Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym $00$ i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie jej i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.

$((-1)^2)^{\frac{1}{2}}=1\ne -1=(-1)^{2\cdot \frac{1}{2}}.$

Podstawa	Wykładnik	Potęga
całkowita dodatnia	całkowity nieujemny	całkowita dodatnia
całkowita	całkowity nieujemny	całkowita
wymierna dodatnia	całkowity	wymierna dodatnia
niewymierna dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia^[1]
algebraiczna	wymierny	algebraiczna
algebraiczna różna od 0 i 1	zespolony, który nie jest liczbą wymierną	przestępna^[2]
przestępna	wymierny różny od 0	przestępna
rzeczywista dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna	rzeczywisty	zespolona^[3]
zespolona	całkowity	zespolona (jednoznaczna)
zespolona	wymierny	zespolona (skończenie wiele wartości)
zespolona	zespolony nie będący liczbą wymierną	zespolona (nieskończenie wiele wartości)

Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym; na przykład $2^{3} \neq 3^{2}\;$ . Nie jest także działaniem łącznym, np. $2^{(3^2)}=2^9=512\;$ , ale $(2^3)^2=8^2=64\;$ .

edytuj Funkcje zawierające potęgę

Zobacz więcej w osobnych artykułach: funkcja wykładnicza, funkcja potęgowa.

Funkcje $a^{x}\;$ oraz $x^{a}\;$ , gdzie $a\;$ jest stałą, są funkcjami elementarnymi. Mają ważne znaczenie w matematyce i innych dziedzinach nauki. Funkcją odwrotną do wykładniczej jest funkcja logarytmiczna, a do potęgowej jest funkcja potęgowa (w przypadku, gdy $a\;$ , jest całkowite zwana także funkcją pierwiastkową) o odwrotnym wykładniku. Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika z nieprzemienności potęgowania. Dla liczb zespolonych logarytm i pierwiastek algebraiczny są działaniami wieloznacznymi.

Rozwiązaniem równania $x^x=a\;$ jest $x=\frac{\ln a}{W(\ln a)}\;$ gdzie $W\;$ jest funkcją W Lamberta.

edytuj Potęgowanie w algebrze

Potęgowanie definuje się nie tylko dla liczb, ale i dla elementów abstrakcyjnych struktur algebraicznych.

Jeżeli dane jest działanie $a \cdot b\;$ , które jest łączne to potęgę $a^{n}\;$ gdy $n\;$ jest naturalne definiuje się jako iloczyn $a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ . Jest to po prostu wielokrotne mnożenie.

Jeżeli działanie $a \cdot b\;$ jest odwracalne wówczas można zdefiniować potęgowanie dla wykładników całkowitych:

$a^{0}\;$ jest równe 1
$a^{-n}=b^{n}\;$ , gdzie $b\;$ jest odwrotnością $a\;$ .

Wynika stąd, że $0^{0}=1\;$ w dowolnej strukturze algebraicznej. Jednak przy definicji analitycznej przypadek ten traktowany jest inaczej.

Zwykle tę definicję stosuje się dla grup - czytaj więcej.

Tak określone potęgowanie ma następujące własności:

$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}\;$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0\;$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0\;$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}\;$

Jeżeli działanie $\cdot$ jest przemienne to zachodzi także:

$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n\;$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0\;$

Związki te można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

W ten sposób można określić np. działanie potęgowania dla macierzy lub zbiorów (czytaj niżej).

edytuj Potęga 0⁰

Zdefiniowanie potęgi $0^0\;$ sprawia problemy. Z jednej strony można by ją przedstawić jako $a^0\;$ i przyjąć wartość 1, jak dla niezerowych $a\;$ . Z drugiej strony natomiast $0^x=0\;$ dla dodatnich $x\;$ , więc można by zastosować także tę regułę do zera otrzymując tym razem zero.

Istnieje jednak więcej argumentów za przyjęciem wartości $0^0=1\;$ i ta wersja została przyjęta w matematyce:

Jeżeli $0^0\;$ traktujemy jako iloczyn zawierający 0 czynników, to jego wartością jest 1. Wartość iloczynu nie może zależeć od czynników, których nie ma.
Liczba $n^m\;$ jest liczbą odwzorowań zbioru $m\;$ -elementowego w zbiór $n\;$ -elementowy. Jeżeli $n=0, m>0\;$ wówczas nie ma takich funkcji, gdyż nie można przyporządkować argumentom wartości ze zbioru pustego. Natomiast dla $n=m=0\;$ istnieje jedno takie odwzorowanie - funkcja pusta.
Wielomiany w algebrze zapisuje się jako

$a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1} x^{1}+a_{0}\;$

albo

$a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1} x^{1}+a_{0} x^{0}\;$ .

Dla $x=0\;$ wartość wielomianu jest oczywiście równa $a_0\;$ , wychodząc z pierwszej metody podania wielomianu. Aby tak było i przy drugiej metodzie, musi być $0^0=1\;$ .

Wzory takie jak dwumian Newtona: $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k}$ są możliwe do użycia dla $n=0\;$ , gdy $0^0=1\;$ .
W matematyce spotyka się dzielniki zera - obiekty takie, że $a,b\not=0\;$ , ale $ab=0\;$ . Z własności potęgowania otrzymamy wtedy $1=a^0b^0=(ab)^0=0^0.\;$ .

Często w analizie matematycznej tradycyjnie przyjmuje się, że $0^0\;$ jest symbolem nieoznaczonym. Natomiast w algebrze abstrakcyjnej $0^0\;$ jest zawsze równe 1.

Więcej na ten temat w zewnętrznym artykule.

edytuj Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych

Zapis $A^n\;$ , gdzie $A\;$ jest zbiorem a $n\;$ liczbą naturalną oznacza $n\;$ -krotny iloczyn kartezjański zbioru $A\;$ .

Zapis $A^B\;$ , gdzie $A\;$ i $B\;$ są zbiorami oznacza zbiór wszystkich funkcji $f\;$ o dziedzinie $B\;$ i przeciwdziedzinie $A\;$ . Zastępując zbiory ich mocami otrzymujemy definicje potęgowania liczb kardynalnych - zobacz arytmetyka liczb kardynalnych.

edytuj Potęgowanie macierzy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Potęgowanie macierzy.

Potęgę można łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, po prostu przez wielokrotne mnożenie i odwracanie dla wykładników ujemnych.

Dla macierzy kwadratowych można utworzyć funkcję $\exp A\;$ .

$\exp A = \sum_{k=0}^\infty{A^k \over k!}.\;$

Szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.

edytuj Macierze diagonalne

Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć osobno wartość $\exp x\;$ dla przekątnej: jeżeli

$A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},$

$e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.$

(Macierze 1x1 też podlegają tej regule.)

Jeżeli $a=UDU^{-1}\;$ i $D\;$ jest diagonalna, to:

$e^a=Ue^D U^{-1}\;$

edytuj Macierze nilpotentne

Macierz $n\;$ jest nilpotentna gdy $n^q=0\;$ dla pewnej liczby $q\;$ . Wówczas $e^n\;$ można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

$e^N = I + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}.$

(dalsze są równe macierzy zerowej)

edytuj Konwencje notacyjne

edytuj Zapis potęgowania przy braku możliwości użycia indeksu górnego

Normalnie potęgowanie zapisywane jest w ten sposób, że wykładnik potęgi umieszczony jest w indeksie górnym: $x^y\;$ . Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosowane są zapisy $x\hat{\ }y\;$ , $x**y\;$ lub $x\uparrow y\;$ . Pamiętać należy w takim wypadku, że potęgowanie obliczane jest od prawej strony: $x\hat{\ }y\hat{\ }z=x\hat{\ }(y\hat{\ }z).\;$

W przypadku gdy podstawą potęgi jest liczba $e\;$ (podstawa logarytmu naturalnego) stosowany może być zapis $\exp x \equiv e^{x}\;$ .

edytuj Potęgowanie funkcji

Zapis w górnym indeksie przy funkcji może oznaczać potęgowanie wartości funkcji:

$f^n(x)=(f(x))^n.\;$

Często jednak, jeżeli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie zapis $f^{n}(x)\;$ oznacza $n\;$ -krotne złożenie funkcji z samą sobą ( $n\;$ -tą iterację funkcji). Na przykład:

$f^3=f(f(f(x)))\;$

W szczególności, $f^{-1}\;$ oznacza funkcję odwrotną do funkcji $f\;$ .

W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której $\sin^n x\;$ oznacza $(\sin x)^n\;$ dla $n>0\;$ oraz $\sin^{-1} x=\arcsin x\;$

Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: $\log^3(x) = (\log x)^3\;$ .

Pamiętać należy, że zapis $f^{(n)}(x)\;$ oznacza $n\;$ -tą pochodną funkcji.

edytuj Wielokrotne potęgowanie

Zobacz więcej w osobnym artykule: Notacja strzałkowa.

Czasem rozważa się wielokrotne potęgowanie, oznaczanie dwiema strzałkami:

$a \uparrow\uparrow 2 = a^{a}\;$
$a \uparrow\uparrow 3 = a^{a^{a}}\;$
$a \uparrow\uparrow 4 = a^{a^{a^{a}}}\;$

itd. Ogólnie:

$a\uparrow \uparrow(n+1) = a^{\left(a\uparrow \uparrow n\right)}\;$

Używając związku $n\uparrow\uparrow k = \log_n \left(n\uparrow\uparrow (k+1)\right)\;$ (który wynika z definicji działania), można zdefiniować $n\uparrow\uparrow k\;$ gdy $k \in \{-1, 0, 1\}\;$ .

$\begin{matrix} n\uparrow\uparrow 1 & = & \log_n \left(n\uparrow\uparrow 2\right) & = & \log_{n} \left(n^n\right) & = & n \log_{n} n & = & n \\ n\uparrow\uparrow 0 & = & \log_{n} \left(n\uparrow\uparrow 1\right) & = & \log_{n} n & & & = & 1 \\ n\uparrow\uparrow -1 & = & \log_{n} \left(n\uparrow\uparrow 0\right) & = & \log_{n} 1 & & & = & 0 \end{matrix}$

Potwierdza to intuicyjne rozumienie $n\uparrow\uparrow 1$ jako $n\;$ . Jednak dalszych wartości obliczyć nie możemy, gdyż nie jest określony $\log_n 0\;$ .

Skoro nieokreślony jest także $log 11$ ( $\log_{1} 1 = \ln 1{/}\ln 1 = 0/0\;$ ), powyższe wyprowadzenie nie skutkuje dla $n = 1\;$ . Zatem $1\uparrow\uparrow{-1}\;$ jest symbolem nieoznaczonym. (Natomiast $1\uparrow\uparrow{0}\;$ można przyjąć za równe 1)

Powtarzanie procesu wielokrotnego potęgowania z kolei prowadzi do funkcji Ackermanna.

edytuj Zastosowania

Potęgi liczby 2 są często spotykane w informatyce. Na przykład $2^{x}\;$ jest maksymalną możliwą liczbą stanów zmiennej składającej się z $x\;$ bitów. Często używa się przedrostków używanych normalnie dla liczby 10 (np. kilobajt to 1024 nie 1000 bajtów). Próby wprowadzenia przedrostków dwójkowych nie zostały przyjęte na szerszą skalę.

Potęgi liczby $e\;$ to wartości funkcji $\exp x\;$ szeroko używanej w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.

Potęgi liczby 10 są stosowane w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych. Są stosowane np. w przedrostkach układu SI.

Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.

edytuj Programowanie

Oto pseudokod algorytmu obliczającego potęgę $x^n\;$ , gdzie $n\;$ jest liczbą całkowitą:

 POTEGA

Ten algorytm używa rekursji ogonowej i może zostać zamieniony na iterację. Jego złożoność obliczeniowa wynosi $\operatorname{O}(n)\;$ .

Istnieje znacznie szybszy algorytm potęgowania używający systemu binarnego. Jego złożoność wynosi $\operatorname{O}(\log n)\;$ .

Oznaczenie potęgowania w niektórych językach programowania:

x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
x ^ y: BASIC, J, Matlab, Microsoft Excel, TeX (i większość jego rozszerzeń), większość systemów Computer Algebra System
x ** y: Ada, Fortran, FoxPro, Perl, Python, Ruby, SAS
x * y: APL
Power(x, y): Microsoft Excel, Pascal
pow(x, y): C, C++, PHP
Math.pow(x, y): Java, JavaScript, Modula-3
Math.Pow(x, y): C#
(expt x y): Common Lisp, Scheme

Przypisy

↑ Może się okazać, że liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej daje wynik wymierny. Dowód:
Niech .
- Jeśli A jest wymierne, to A jest szukaną liczbą.
- Jeśli A jest niewymierne, to $B=A^\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=2$ jest wymierne i jest szukaną liczbą.
↑ twierdzenie Gelfonda-Schneidera
↑ Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania. Potęgę $a^n\;$ w ogólnym przypadku należy traktować jako $e^{n \ln a}\;$ . Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać $a^{k/(2n+1)}=\sqrt[2n+1]{a^k}$ , gdzie pierwiastek jest pierwiastkiem arytmetycznym. Obejmuje to także wykładniki całkowite. W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci $1 / (2 n)$ można przyjąć:

$a^{\frac{1}{2n}}=\pm i \sqrt[2n]{-a}$

Zauważmy, że ta potęga ma dwie wartości (tworzą one wraz z pozostałymi pierwiastek algebraiczny).