Pierwiastek algebraiczny.html

Spis treści

1 Definicja
2 Wyznaczanie
3 Przykłady
4 Zobacz też

Pierwiastek algebraiczny – odpowiednik pierwiastka arytmetycznego dla liczb zespolonych.

edytuj Definicja

Pierwiastkiem algebraicznym stopnia $n \in \mathbb N$ z liczby $x \in \mathbb C$ nazywamy każdą liczbę $y \in \mathbb C$ spełniającą równość

$y^n = x\;$ .

Dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje dokładnie $n$ jej różnych pierwiastków algebraicznych. Ważne zastosowania mają pierwiastki z jedynki.

Warto zauważyć, że pierwiastek algebraiczny nie jest działaniem (nie jest nawet funkcją).

Do jego oznaczenia korzysta się z tego samego symbolu co dla pierwiastka arytmetycznego, czyli $\sqrt[n] x$ . Czasem to powoduje dwuznaczność, kiedy nawet w jednym i tym samym wzorze stosuje się ten symbol w różnych znaczeniach. Reguły dla uniknięcia tej dwuznaczności nie są ustalone.

edytuj Wyznaczanie

Zobacz więcej w osobnym artykule: wzór de Moivre'a.

Pierwiastki liczby zespolonej można łatwo wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

$z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\psi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\psi + 2k\pi}{n}\right)$ ,

dla $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ .

Warto pamiętać, że pierwiastki obliczane dla $k\;$ oraz $k + nq\;$ dla $q \in \mathbb Z$ są sobie równe.

edytuj Przykłady

Obliczmy pierwiastki algebraiczne drugiego stopnia z liczby zespolonej $z = -4\;$ , przekształćmy ją uprzednio do postaci trygonometrycznej:

$\operatorname{Re}\;z = -4$ oraz $\operatorname{Im}\;z = 0$ , stąd $|z| = 4\;$ . Zachodzi $\operatorname{Arg}\; z = \pi$ , mamy więc $z = 4 (\cos \pi + i\sin \pi)\;$ .

Istnieją dwa różne pierwiastki, pierwiastek $z_0\;$ uzyskamy dla $k = 0\;$ , pierwiastek $z_1\;$ dla $k = -1\;$ :

$z_0 = 2 \left(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2}\right) = 2i$ ,

$z_1 = 2 \left(\cos \tfrac{\pi - 2\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi - 2\pi}{2}\right) = -2i$ .

Pierwiastek algebraiczny.html

Spis treści

edytuj Definicja

edytuj Wyznaczanie

edytuj Przykłady

edytuj Zobacz też