Piła Weierstrassa

Wykres funkcji Weisstrassa w przedziale [−2, 2]

Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany^[1] przykład rzeczywistej^[2] funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Spis treści

1 Tło historyczne
2 Konstrukcja funkcji Weierstrassa
3 Wykres funkcji Weierstrassa
4 Przypisy
5 Źródła

edytuj Tło historyczne

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić to przekonanie^[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie, w roku 1830, Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował. W 1860 roku, szwajcarski matematyk, Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

edytuj Konstrukcja funkcji Weierstrassa

W oryginalnej publikacji, funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$ ,

gdzie $a$ jest pewną liczbą z przedziału $(0,1)$ natomiast $b$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek $ab>1+\tfrac{3}{2}\pi$ .

edytuj Wykres funkcji Weierstrassa

Gdy $a b > 1$ , to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

$2+\frac{\log a}{\log b}$ .

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem $a b > 1$ ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Przypisy

↑ Paul Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, J. Reine Angew. Math. 79 (1875), 21–37
↑ Prostym przykładem zespolonej funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny jest funkcja "sprzężenie", tj. $\scriptstyle{z\mapsto\overline{z},\, z\in\mathbb{C}}$
↑ André Marie Ampère, Recherches sur quelques points de la th´eorie des fonctions d´eriv´ees qui condusent `a une nouvelle d´emonstration de la s´erie de Taylor, et `a l’expression finie des termes qu’on n´eglige lorsqu’on arrˆete cette s´erie `a un terme quelconque, J. Ècole Polytech. 6 (1806), No. 13, 148–181.

edytuj Źródła

O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. Wiadomości Matematyczne. T. Szarek. Tom 42 (2006),. Poznań : Polskie Towarzystwo Matematyczne, 2006. [1]