Paradoks zbioru wszystkich zbiorów.html



Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora:

Przypuśćmy ze Z to zbiór wszystkich zbiorów, czyli Z={X:1}

Można udowodnić, że zbiór potęgowy z dowolnego zbioru X (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) ma moc większą od mocy X.

A zatem zbiór potęgowy z Z ma moc wiekszą od mocy Z, co jest niemożliwe, gdyż z definicji Z jego zbiór potęgowy także się w nim zawiera.

Paradoks ten jest po prostu dowodem, mówiącym, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów. Było to jednak stwierdzenie o tyle paradoksalne, iż twórcy teorii mnogości nie widzieli żadnych podstaw, aby uniknąć jego istnienia. W końcu okazało się, że problem leżał w nieścisłym określeniu pojęcia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogości pozwoliła zbudować spójną teorię wolną od paradoksów.

edytuj Zobacz też

• paradoks,
• paradoks Russella,
• przegląd zagadnień z zakresu matematyki