Pęd (fizyka).html

Pęd – w mechanice wielkość fizyczna opisująca ruch ciała. Pęd mają wszystkie formy materii, np. ciała obdarzone masą spoczynkową, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

Spis treści

1 Pęd w mechanice klasycznej
2 Pęd w mechanice relatywistycznej
- 2.1 Pęd fotonu
3 Pęd w mechanice kwantowej
- 3.1 Mechanika kwantowa nierelatywistyczna
- 3.2 Mechanika kwantowa relatywistyczna
4 Przypisy

edytuj Pęd w mechanice klasycznej

edytuj Pęd punktu materialnego

Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości.

$\vec p=m \vec v$

W układzie SI jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą innych jednostek, np. niuton·sekunda (N·s) lub kilogram·metr/sekunda (kg·m/s).

edytuj Zasada zachowania pędu

Zmiana pędu następuje w wyniku działania na ciało siły przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest popędem siły (I).

$\vec {\Delta p}=\vec F \Delta t$

$\vec I=\vec F t$

Jeżeli w układzie inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła, lub działające siły równoważą się:

$\vec F = 0$ ,

to całkowity pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się:

$\Delta \vec p = 0$

$\vec p=\mbox{const.}$

Prawo zachowania pędu jest konsekwencją symetrii translacji w przestrzeni (twierdzenie Noether)

$\vec{x} \rightarrow \vec{x}'=\vec{x}+\vec{a}.$

Jeżeli energia potencjalna jest niezmiennicza ze względu na translację,

$U(\vec{x})=U( \vec{x}')=U(\vec{x}+\vec{a})=U(\vec{x})+a^i \frac{\partial U}{\partial {x^i}}+...$

$F^i = -\frac{\partial U}{\partial {x^i}}=0$

czyli na ciało nie działa żadna siła i w konsekwencji pęd układu jest zachowany.

edytuj Przykłady zasady zachowania pędu

Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora uzyskujemy pęd skierowany w stronę lądu. Równocześnie łódka – zgodnie z zasadą zachowania pędu – oddala się nieco od brzegu uzyskując pęd równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany. Wypadkowy pęd układu łódka-człowiek pozostaje nadal równy zeru.

Pocisk porusza się w powietrzu, w pewnej chwili pod wpływem wybuchu wewnątrz niego (sił wewnętrznych) ulega rozerwaniu. Ponieważ siły wewnętrzne nie zmieniają wypadkowego pędu układu, więc odłamki rozlatują się na wszystkie strony w ten sposób, że suma wektorowa pędów w chwili rozerwania jest równa pędowi pocisku tworzącego jeszcze całość. Pomijając zmiany oporu powietrza spowodowane zmianą kształtu i wielkości ciała, środek masy odłamków porusza się po takim samym torze jak poruszał się pocisk.

Na zasadzie zachowania pędu opiera się działanie śruby okrętowej i śmigła samolotu. Śruba odrzuca wodę do tyłu, statek uzyskuje pęd skierowany ku przodowi. Podobnie śmigło odrzuca do tyłu masy powietrza, a samolot przesuwa się naprzód.

Znane są ogólnie zjawiska „odrzutu” przy użyciu broni palnej: dubeltówka czy karabin „uderzają” strzelca, lufa cofa się przy wystrzale. Zjawisko odrzutu jest wykorzystywane na szeroką skalę w samolotach odrzutowych i pociskach rakietowych. Zasada ich ruchu polega na tym, że w specjalnej komorze wewnętrznej odbywa się spalanie mieszanki wybuchowej. Gazy z dużą prędkością, a więc i z dużym pędem, uchodzą przez otwór w tylnej części samolotu lub rakiety, które równocześnie uzyskują pęd równy co do wartości, lecz skierowany ku przodowi.

edytuj Pęd układu punktów materialnych

Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów układu. Można łatwo udowodnić^[1], że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość środka masy układu.

Pęd układu punktów zmienia się tylko wtedy, gdy działa na nie siła zewnętrzna. Jeżeli układ rozpada się w wyniku działania sił wewnętrznych na części, suma pędów części jest równa pędowi układu przed rozpadem, podobnie przy łączeniu się części w układ. Zderzenie ciał możemy traktować jako złączenie i rozłączenie układu ciał.

Zasada ta umożliwia wyznaczenie masy lub prędkości w wielu sytuacjach, jest stosowana do np.:

wyznaczania prędkości pocisków, przez wyznaczenie wychylenia klocka do którego wbija się pocisk,
wyznaczania mas cząstek elementarnych na podstawie śladów (kątów) pod jakimi rozbiegają się produkty rozpadu,
wyznaczania cząstkowych śladów rozpadu elementu.

edytuj Pędy uogólnione, opis Hamiltonowski

Ukoronowaniem klasycznej koncepcji pędu jest opis Hamiltonowski mechaniki układu. Model układu zadaje się poprzez krok pośredni polegający na określeniu jego lagranżjanu. Jest to funkcja równa:

$L=T-U \,$

gdzie T jest energią kinetyczną $\frac{mv^2} {2}$ zaś $U (q)$ jest energią potencjalną. Ogólniej lagranżjan konstruuje się posługując się informacjami o symetriach układu, stąd jego podstawowe w stosunku do hamiltonianu znaczenie. Następnie prowadzimy transformację Legendrea do Hamiltonianu, polegającą na zmianie postaci funkcyjnej i zmiennych niezależnych. Lagranżjan jest funkcją współrzędnych $q$ i ich pochodnych po czasie - prędkości - $\dot{q}$ . Taki zestaw współrzędnych nazywamy współrzędnymi konfiguracjnymi gdyż opisują zachowanie się układu na rozmaitości dostępnych dla niego położeń - konfiguracji. Transformacja Legendre'a to wprowadzenie innych zmiennych niezależnych poprzez rozwikłanie równania:

$H(p,q) = p\cdot \dot{q} -L(q)$

gdzie: $p= \frac{\partial L } {\partial \dot{q}}$ jest pędem uogólnionym. W wyniku prostych obliczeń można pokazać, gdy spełnione są pewne warunki, że $H = T + U$ czyli hamiltonian jest funkcją równą całkowitej energii układu. Tak określone współrzędne noszą nazwę zmiennych kanonicznych, pędów i współrzędnych uogólnionych lub współrzędnych w przestrzeni fazowej układu. Operacja ta odpowiada przejściu od przestrzeni konfiguracyjnej, czyli rozmaitości położeń układu, do wektorowej przestrzeni do niej stycznej. Warto wiedzieć, że nie zawsze przeprowadzenie takiej transformacji jest możliwe, oraz, że w wyniku nie zawsze dostaniemy $p=m\cdot v$ choć dla układów bez więzów tak będzie.

Równania ruchu wyprowadzane w formalizmie Lagrange'a noszą nazwę równań Eulera-Lagrange'a, zaś w formalizmie Hamiltona równań Hamiltona. Obydwa sposoby opisu są równoważne o ile możemy wykonać transformacje Legendre`a. Rozwiązania równań hamiltona są łatwiejsze gdyż mamy do czynienia z niezależnymi zmiennymi $(p, q)$ , inaczej niż w formalizmie Lagrange'a, gdzie zmiennymi są q, i jego pochodna w czasie. Jednocześnie konstrukcja lagranżjanu prowadzona jest z zasad symetrii i na ogół prostsza niż zgadnięcie od razu gotowej postaci hamiltonianu. Dodatkowo w niektórych przypadkach możliwe staje się uwzględnienie więzów które wchodzą w całe rozumowanie jako mnożniki Lagrange'a, powodują zmianę postaci funkcyjnej pędu (w stosunku do newtonowskiego $p=m\cdot v$ ) i zostają włączone w równania, co powoduje że dalsze obliczenia na ogół są łatwiejsze do wykonania, a przynajmniej zmniejszają liczbę równań przez jawną eliminację równań więzów.

edytuj Pęd w mechanice relatywistycznej

W mechanice relatywistycznej pęd swobodnej cząstki o masie spoczynkowej m poruszającej się z prędkością v określony jest wzorem

$\vec{P}={{m \vec{v}} \over \sqrt{1-(v/c)^2}}=m(v)\vec{v}$

m(v) nazywamy masą relatywistyczną. Między pędem i energią cząstki istnieje zależność:

${{E^2} }= p^2 {c^2}+m^2 c^4\,$

Stąd pęd ciała poruszającego się z prędkością relatywistyczną można wyrazić wzorem

$p = \sqrt{\frac{E^2} {c^2}- m^2 c^2}$

edytuj Pęd fotonu

Pęd fotonu p, jest określony wzorem $p=h/\lambda \,$ (lub równoważnym, $p=hf/c \,$ ). Foton (jako cząstka) oddziałując z materią podczas odbicia, pochłonięcia, emisji zmienia swój pęd, a tym samym i pęd ciała z którym oddziałuje.

edytuj Pęd w mechanice kwantowej

W procesie kwantyzacji wielkościom mechanicznym fizyki klasycznej przyporządkowywane są właściwe dla mechaniki kwantowej operatory. Jakkolwiek wybór konkretnego operatora jest obarczony pewną dowolnością, żądamy na ogół, aby w procesie przejścia do granicy fizyki klasycznej wielkość operatorowa przechodziła w odpowiadająca jej wielkość klasyczną, jest to treść tzw. zasady korespondencji (jednak niektóre wielkości np. spin (fizyka) mogą nie posiadać granicy klasycznej). Wielkości kwantowe często wybiera się jako generatory grup Liego odpowiadających im symetrii układów fizycznych, zwłaszcza w wypadku gdy z daną symetrią można związać jakąś zasadę zachowania (porównaj: Twierdzenie Noether).

edytuj Mechanika kwantowa nierelatywistyczna

Pęd kwantowy jest operatorem związanym z symetrią układu względem translacji

$x^i \rightarrow x'^i=x^i + a^i.$

Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji przestrzennych czyli przekształceń postaci

$\psi(\vec{x}) \rightarrow \psi'(\vec{x})=T(\vec{a})\psi(\vec{x})=\psi(\vec{x}+\vec{a})$

gdzie T jest operatorem translacji o wektor a. Dla infinitenzymalnych translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg:

$T\psi(\vec{x}) = \psi(\vec{x}+\vec{a}) = \psi(\vec{x}) +a^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}} \psi(\vec{x}) +...$

lub

$T\psi(\vec{x})=e^{\frac{i}{\hbar}P_{i} a^{i}}\psi(\vec{x})$

gdzie

$P_i=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i}$

jest operatorem pędu. Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla (algebry Liego) związanej z grupą Galileusza mechaniki nierelatywistycznej.

Historycznie jako pierwszy postać operatora pędu zaproponował Erwin Schrödinger, który jednak wyznaczył jego postać wychodząc od hamiltonianu dla cząstki swobodnej podczas konstruowania swojego słynnego równania Schrödingera.

edytuj Mechanika kwantowa relatywistyczna

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego punkt posiada współrzędne $x μ = {x 0 = c t, x 1, x 2, x 3}$ (μ=0,1,2,3). Z symetrii układu fizycznego względem translacji w czasoprzestrzeni

$x^{\mu} \rightarrow x'^{\mu}=x^{\mu} + a^{\mu}.$

wynika prawo zachowania czterowektora pędu $P μ$ . Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji przestrzennych czyli przekształceń postaci

$\psi(x) \rightarrow \psi'(x)=T(a)\psi(x)=\psi(x+a)$

gdzie T jest operatorem translacji o czterowektor a. Dla infinityzymalnych translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg:

$T\psi(x) = \psi(x+a) = \psi(x) +a^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi(\vec{x}) +...$

lub

$T\psi(x)=e^{\frac{i}{\hbar}P_{\mu} a^{\mu}}\psi(x)$

gdzie

$P_{\mu}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=-i\hbar \partial_{\mu}$

jest operatorem pędu. Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla (algebry Liego) związanej z grupą Poincarégo mechaniki nierelatywistycznej. Konsekwencją tej symetrii jest istnienie globalnego niezmiennika Casimira

$C_1=P_{\mu}P^{\mu}=-\hbar^2 \partial_{\mu}\partial^{\mu}=\hbar^2 \Box$

Wielkość ta jest jednocześnie mierzalna (komutuje) z wszystkimi innymi wielkościami fizycznymi opisującymi cząstkę swobodną. jej równanie własne

$C_1 \psi(x)=\hbar^2 \Box \psi(x)= \lambda \psi(x)$

daje równanie Kleina-Gordona

$(\Box -\frac{\lambda}{\hbar^2})\psi(x)=0$

z masą spoczynkową zdefiniowaną przez relację

$\lambda=(mc)^2\,$

Wartości własne operatora Casimira $C 1$ definiują masę spoczynkową cząstki. Formalnie λ jest liczbą rzeczywistą, może być dodatnia, ujemna lub zero. Klasyfikuje to odpowiednio cząstki na cząstki ciężkie (poruszające się z prędkością mniejszą niż prędkość światła), tachiony (poruszające się z prędkością większą niż prędkość światła) i cząstki poruszające się stale z prędkością światła. Z tego równania własnego ( z równania Kleina - Gordona czy równania Diraca) wynika relatywistyczna zależność między energią i pędem

$\frac{E^2}{c^2}=p^2+m^2 c^2.$

Przypisy

↑ patrz np. Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Wyd. V. Warszawa: PWN, 1977, s. 106.