Operator liniowy
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

Spis treści
Zasugerowano, aby artykuł obraz (algebra liniowa) zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)
Ten artykuł dotyczy funkcji rozpatrywanej w algebrze liniowej oraz w analizie funkcjonalnej. Zobacz też: funkcja liniowa.

Przekształcenie (odwzorowanie) liniowe – funkcja addytywna i jednorodna (pierwszego stopnia) określona między przestrzeniami liniowymi.

edytuj Definicja formalna

Niech U\, i V\, będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K\,. Przekształcenie A\colon U \to V\, nazywamy liniowym, gdy jest ono homomorfizmem przestrzeni U\, w przestrzeń V\,, czyli:

  1. \forall_{x,y\in U}\; A(x+y) = A(x)+A(y)\, (addytywność),
  2. \forall_{c\in K}\; \forall_{x\in U}\; A(cx)=cA(x)\, (jednorodność).

edytuj Uwaga

Warunkom 1. i 2. równoważny jest warunek:

\forall_{x,y \in U}\; \forall_{c_1, c_2 \in K}\; A(c_1 x + c_2 y) = c_1 A(x) + c_2 A(y)\,.

edytuj Oznaczenia

Przekształcenia liniowe oznacza się z reguły dużymi literami, zaś ich argumenty (o ile nie wprowadza to niejasności) zapisuje się bez nawiasów:

Ax \equiv A(x)\,.

Zbiór wszystkich przekszatałceń liniowych przestrzeni liniowych U\, i V\, oznaczamy symbolem \operatorname{Hom}(U,V)\,. Czasem stosuje się także oznaczenie \mathcal{L}(U,V)\,, jednak istnieją pewne rozbieżności co do interpretacji tego symbolu: w analizie funkcjonalnej, przez \mathcal{L}(U,V)\, rozumie się zbiór wszystkich liniowych i ciągłych przekształceń przestrzeni U,V\,. Jeśli U,V\, są przestrzeniami skończenie wymiarowymi, to wszystkie przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe.

edytuj Przestrzenie przekształceń

Zbiór \operatorname{Hom}(U,V)\, z określonymi, jak niżej, działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalary, tworzy przestrzeń liniową.

  1. (A+B)x = Ax + Bx\,
  2. (cA)x = c \cdot Ax\,

dla wszystkich A, B \in \operatorname{Hom}(U,V),\; c \in K,\; x \in U\,.

\dim \mbox{Hom}(U,V) = \dim U \cdot \dim V\,.

W szczególności, jeśli \dim U = m,\; \dim V = n\,, to przestrzeń \operatorname{Hom}(U,V) \cong K^n_m\, przekształceń liniowych przestrzeni skończenie wymiarowych jest izomorficzna z przestrzenią macierzy o odpowiednim wymiarze. Konsekwencją tego faktu jest, iż przekształcenie liniowe A\, między skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi reprezentowane jest przez macierz A\in K^n_m\,. Macierz tę nazywamy macierzą przekształcenia liniowego odpowiadającego A\,. Jej postać zależy od wyboru baz przestrzeni U\, i V\,. Działanie przekształcenia liniowego na wektor można przedstawić jako mnożenie macierzy tego przekształcenia przez kolumnę (stojącą po prawej stronie) utworzoną ze współrzędnych tego wektora w danej bazie.

Niezmiennikami przekształceń liniowych ze względu na zmianę baz są: nieosobliwość i rząd macierzy.

edytuj Rodzaje

  • Różnowartościowe przekształcenie liniowe nazywa się często nieosobliwym. W szczególnym przypadku, gdy A\in \operatorname{Hom}(U,V) reprezentowane jest przez macierz, to przekształcenie jest nieosobliwe wtedy i tylko wtedy, gdy \det A \ne 0 (niezależnie od wyboru baz przestrzeni).
  • Gdy U\, jest przestrzenią liniową nad ciałem K\,, to przekształcenie liniowe F\colon U \to K nazywamy funkcjonałem liniowym.
  • Przekształcenie liniowe L\colon U \to U nazywa się zwyczajowo operatorem (liniowym) lub endomorfizmem (liniowym), jeśli przekształcenie jest wzajemnie jednoznaczne, to nosi on nazwę automorfizmu (liniowego). Słowo "operator" używa się i bardziej szeroko - jako synonim słowa "przekształcenie". Operatory liniowe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych są przedmiotem badań analizy funkcjonalnej. Przykładem takiego operatora jest pochodna funkcji.
  • Załóżmy, że przestrzenie liniowa V,\ U są przestrzeniami unormowanymi. Operator F\colon V\ni v\mapsto Fx\in U nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka stała M>0\,, że

dla dowolnego wektora v\in V\, zachodzi nierówność:

\|Fv\|_U\leq M\|v\|_V

Operator liniowy jest ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłym.

edytuj Przykłady

  • Jeśli U\, jest przestrzenią liniową, to przekształcenie \operatorname{id}\colon U \to U\,, dane wzorem \operatorname{id}(x) = x\, jest liniowe. Por. funkcja tożsamościowa.
  • Funkcja liniowa postaci f(x) = ax,\; a \in \mathbb R\,. Zob. homotetia.
  • Niech C([a,b])\, oznacza przestrzeń funkcji ciągłych, określonych na przedziale [a,b]\,. Odwzorowanie I\colon C([a,b]) \to \mathbb R\,, dane wzorem
I(f) = \int\limits_a^b~f(x)d x\, jest przekształceniem liniowym.

edytuj Zobacz też
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.