Obraz (algebra liniowa).html

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwaga
- 1.2 Oznaczenia
2 Przestrzenie przekształceń
3 Rodzaje i własności
- 3.1 Charakteryzacja przekształceń liniowych
4 Operatory liniowe w analizie funkcjonalnej
5 Przykłady
6 Przypisy
7 Zobacz też

Ten artykuł dotyczy funkcji rozpatrywanej w algebrze liniowej oraz w analizie funkcjonalnej. Zobacz też: funkcja liniowa.

Przekształcenie liniowe (odwzorowanie liniowe, operator liniowy) – w algebrze liniowej, odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi, zachowujące działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, odwzrowanie liniowe jest to każda funkcja addytywna i jednorodna. Przekształcenia tego typu pojawiają się w sposób naturalny w wielu dziedzinach matematyki - na przykład, na macierze o wyrazach rzeczywistych, które mają m wierszy i n kolumn, można patrzeć jak na przekszałcenia liniowe przestrzeni $\mathbb{R}^n$ w przestrzeń $\mathbb{R}^m$ (z drugiej strony każdemu takiemu przekształceniu odpowiada pewna macierz tej postaci). Innymi naturalnymi przykładami przekształceń liniowych są np. operatory^[1] różniczkowania czy całkowania. Operatory liniowe na rzeczywistych lub zespolonych przestrzeniach nieskończeniewymiarowych są przedmiotem badań analizy funkcjonalnej.

Pojęcie przekształcenia liniowego w naturalny sposób uogólnia się na pojęcie homomorfizmu (lewych R-)modułów - wszystkie pojęcia natury czysto algebraicznej, nie angażujące odnoszenia się do liniowej niezależności również się przenoszą (np. twierdzenie o wykresie - zob. niżej).

W dalszej części artykułu, $U$ i $V$ są ustalonymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K$ (chyba, że wspomniane będzie inaczej).

edytuj Definicja

Funkcję $A\colon U \to V\,$ nazywamy przekształceniem liniowym, gdy dla dowolnych $x,y\in U$ oraz $c\in K$ spełnione są warunki

$A(x+y) = A(x)+A(y)\,$ (addytywność),
$A(cx)=cA(x)\,$ (jednorodność).^[2]

edytuj Uwaga

Warunkom 1. i 2. równoważny jest poniższy warunek:

$A(c x + y) = c A(x) + A(y)\,$ .

edytuj Oznaczenia

Przekształcenia liniowe oznacza się z reguły dużymi literami, zaś ich argumenty (o ile nie wprowadza to niejasności) zapisuje się bez nawiasów:

$A(x)\stackrel{\rm{ozn.}}{=}Ax$ .

Zbiór wszystkich przekszatałceń liniowych przestrzeni liniowych $U$ i $V$ oznacza się często symbolami $\operatorname{Hom}(U,V), \operatorname{L}(U,V)$ bądź $\mathcal{L}(U,V)$ - istnieją jednak pewne rozbieżności co do interpretacji dwóch ostatnich symboli: w analizie funkcjonalnej, rozumie się przez nie zbiór wszystkich liniowych i ciągłych przekształceń przestrzeni $U, V$ . Jeśli $U, V$ są przestrzeniami skończenie wymiarowymi nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to wszystkie przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe. W niniejszym artykule używane będzie oznaczenie $\operatorname{L}(U,V)$ .

edytuj Przestrzenie przekształceń

Niech dla wszystkich $A, B \in \operatorname{L}(U,V),\; c \in K,\; x \in U\,$

1) $(A+B)x = Ax + Bx\,$ ,

2) $(cA)x = c \cdot Ax\,$ .

Zbiór $\operatorname{L}(U,V)\,$ z tak określonymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalary, tworzy przestrzeń liniową.

Ponadto wymiar przestrzeni przekształceń wyraża się poprzez zależność:

$\dim \mbox{L}(U,V) = \dim U \cdot \dim V\,$ .

W szczególności, jeśli $U$ i $V$ są, odpowiednio, $n$ - i $m$ -wymiarowe, to przestrzeń $\operatorname{L}(U,V)$ jest izomorficzna z przestrzenią $K^n_m$ , tzn. przestrzenią macierzy o współczynnikach z ciała $K$ , które mają $m$ wierszy i $n$ kolumn. Konsekwencją tego faktu jest, iż przekształcenie liniowe $A$ między skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi reprezentowane jest przez pewną macierz. Postać tej macierzy zależy od wyboru baz przestrzeni $U$ i $V$ . Działanie przekształcenia liniowego na wektor można przedstawić jako mnożenie macierzy tego przekształcenia przez kolumnę (stojącą po prawej stronie), utworzoną ze współrzędnych tego wektora w danej bazie.

Niezmiennikami przekształceń liniowych ze względu na zmianę baz są: nieosobliwość i rząd macierzy.

edytuj Rodzaje i własności

Różnowartościowe przekształcenie liniowe nazywa się często nieosobliwym. W szczególnym przypadku, gdy przekształcenie liniowe $A$ reprezentowane jest przez macierz, to jest ono nieosobliwe wtedy i tylko wtedy, gdy $\det A \ne 0$ (niezależnie od wyboru baz przestrzeni).
Przekształcenie liniowe o wartościach w ciele nazywamy funkcjonałem liniowym.
Przekształcenie liniowe $A\colon U \to U$ nazywa się zwyczajowo operatorem (liniowym) lub endomorfizmem (liniowym). Endomorfizmy wzajemnie jednoznaczne nazywane są automorfizmami (liniowymi).

edytuj Charakteryzacja przekształceń liniowych

Sformułowane dalej twierdzenie o wykresie podaje ogólną charakteryzację przekształceń liniowych: Funkcja $f\colon U\to V$ jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy wykres

$\Gamma_f=\{(u, f(u)\colon\, u\in U\}\subset U\times V$

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $U\times V$ .

edytuj Operatory liniowe w analizie funkcjonalnej

Jeżeli $U$ i $V$ są przestrzeniami unormowanymi, to operator $A\colon U\to V$ nazywany jest ograniczonym, gdy istnieje taka stała $M > 0$ , że dla każdego $u\in U$ zachodzi nierówność:

$\|Au\|_V\leq M\|u\|_U$ .

Operator liniowy jest ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły. W przypadku przestrzeni Banacha można podać wygodne kryterium ciągłości odwzorowania liniowego. I tak:

Niech $U, V$ będą przestrzeniami Banacha, a $A$ operatorem liniowym $U$ w $V$ . Wówczas każde dwa z poniższych zdań są równoważne:

$A$ jest ciągłe.
$A$ przeprowadza ciągi zbieżne do zera w ciągi ograniczone.
$A$ jest ciągłe w pewnym punkcie, np. w zerze.

Jeśli przestrzenie $U$ i $V$ są skończenie wymiarowe, to wszystkie odwzorowania liniowe między nimi są ciągłe. Związane jest to z faktem, że w przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne. W przestrzeniach nieskończenie wymiarowych można podać przykłady odwzorowań liniowych, które nie są ciągłe:

Niech $U$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni $C([0,1],\mathbb{R})$ (z normą supremum) tych funkcji $f$ , dla których istnieje $f^\prime(0)$ . Odwzorowanie $T\colon U\to \mathbb{R}$ dane wzorem $Tf=f^\prime(0)$ jest liniowe (wynika to z własności pochodnej) - mimo to nie jest ciągłe. Wystarczy rozważyć ciąg funkcji

$f_n(x)=x(1-x)^n,\, n\in \mathbb{N}$ .

Ciąg ten jest zbieżny do funkcji zerowej (w sensie normy supremum). Natomiast

$f^\prime_n(0)=1$ dla każdego $n\in \mathbb{N}$ ,

skąd nie może być on zbieżny do $T (0) = 0$ .

Ważnym twierdzeniem analizy funkcjonalnej (mającym charakter mimo wszystko algebraiczny) jest twierdzenie Hahna-Banacha, dotyczące przedłużania funkcjonałów liniowych na rzeczywistych przestrzeniach liniowych. Inne klasyczne wyniki dotyczące odwzorowań liniowych to:

edytuj Przykłady

Przekształcenie identycznościowe $\operatorname{id}\colon U \to U\,$ , dane wzorem $\operatorname{id}(x) = x$ , jest liniowe.
Funkcja liniowa postaci $f(x) = ax,\; a \in \mathbb R,\,$ jest przekształceniem liniowym. Zob. homotetia. Warto jednak zauważyć, że dowolna funkcja liniowa (tzn. funkcja postaci $f(x) = ax+b,\; a,b \in \mathbb R\,$ ) z reguły nie jest przekształceniem liniowym.
Niech $C([a,b])\,$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych, określonych na przedziale $[a,b]\,$ . Odwzorowanie $I\colon C([a,b]) \to \mathbb R\,$ , dane wzorem

$I(f) = \int\limits_a^b~f(x)d x\,$ , jest przekształceniem liniowym.

Przypisy

↑ Słowo "operator" używa się i bardziej szeroko - jako synonim słowa "przekształcenie".
↑ tzn. gdy jest ono homomorfizmem przestrzeni $U$ w przestrzeń $V\,$

edytuj Zobacz też

przekształcenie afiniczne,
przekształcenie dwuliniowe,
jądro przekształcenia liniowego,
obraz przekształcenia liniowego,
macierz przekształcenia liniowego,
homomorfizm,
przegląd zagadnień z zakresu matematyki.