Nierówność.html

Nierówność to, w uproszczeniu, stwierdzenie że jeden obiekt jest większy od drugiego, czyli dwa wyrażenia połączone relacją porządkującą:

Zapis $a<b\,$ oznacza, że $a\,$ jest mniejsze od $b\,$
Zapis $a>b\,$ oznacza, że $a\,$ jest większe od $b\,$
Zapis $a \leq b$ oznacza, że $a\,$ jest mniejsze lub równe (nie większe od) $b\,$
Zapis $a \geq b$ oznacza, że $a\,$ jest większe lub równe (nie mniejsze od) $b\,$
Zapis $a \neq b$ oznacza, że $a\,$ jest różne od $b\,$

Dwie pierwsze nierówności nazywa się ostrymi lub mocnymi; dwie następne nieostrymi lub słabymi. Ostatnia nierówność jest negacją równości $a = b$ .

Wyrażenie (obiekt) $a\,$ nazywa się lewą stroną nierówności, $b\,$ - prawą stroną nierówności.

Przykłady nierówności:

1<2
5>10
x+3<6x

Pierwsza nierówność jest prawdziwa, druga fałszywa, trzecia może być - w zależności od wartości $x\,$ - prawdziwa lub fałszywa: dla $x = 10$ jest prawdziwa, dla $x = 0$ jest fałszywa.

edytuj Podstawowe własności

Badanie nierówności $a \neq b$ sprowadza się do badania równania (lub równości) $a = b$ . Z tego względu nie będziemy się nią tu zajmować.

Pozostałe rodzaje nierówności można rozpatrywać tylko w zbiorach, w których określono uporządkowanie elementów (tzw. zbiorach liniowo uporządkowanych^[1]). Poniżej zajmiemy się tylko nierównościami w dziedzinie liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ ^[2].

Podstawowe własności nierówności:

Własność trychotomii. Dokładnie jedno z tych zdań jest prawdziwe: $a > b, a = b, a < b$ .
Antysymetryczność. $a > b$ jest równoważne $b < a$ .
Nierówności mocne są przeciwzwrotne, tzn. nigdy nie zachodzi $a > a$ .
Nierówności słabe są zwrotne, tzn. $a \geq a$ .
Przechodniość. Jeżeli $a > b$ i $b > c$ to $a > c$ .
Do obu stron nierówności można dodać lub odjąć tę samą liczbę. $a > b$ jest równoważne $a + c > b + c$ , a także $a - c > b - c$ .
Nierówności można dodawać stronami. Jeżeli $a > b$ i $c > d$ to $a + c > b + d$ .
Obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią. Jeżeli $c > 0$ , to $a > b$ jest równoważne nierówności $a c > b c$ , a także $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ .
Obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, zmieniając znak nierówności na przeciwny. Jeżeli $c < 0$ , to $a > b$ jest równoważne nierówności $a c < b c$ , a także $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ .
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: $a^2 \geq 0$ .
Niech $x > y$ . Jeżeli $f$ jest funkcją rosnącą, to $f (x) > f (y)$ . Jeżeli $f$ jest funkcją malejącą, to $f (x) < f (y)$ . Innymi słowy, na obie strony nierówności można nałożyć funkcję monotoniczną, zmieniając znak jeżeli jest to funkcja nierosnąca. Jeżeli nie jest to funkcja ściśle monotoniczna, to mocną nierówność należy zamienić na jej słabą wersję.

edytuj Rozwiązywanie nierówności

Rozwiązywanie nierówności to znalezienie wszystkich wartości zmiennych użytych w nierówności, dla których jest ona spełniona. Zmienne te nazywane są niewiadomymi (oprócz nich mogą występować parametry, patrz niżej). Najprostsze nierówności rozwiązuje się przekształcając je na prostsze, równoważne.

edytuj Nierówność liniowa

Najprostszą nierównością jest nierówność liniowa (nierówność stopnia pierwszego), tj. nierówność, po której obu stronach występują funkcje liniowe.

Przykład: aby rozwiązać nierówność

$2x-15>3x\,$

dodajemy do obu stron nierówności 15:

$2x>3x+15\,$

odejmujemy od obu stron nierówności $3 x$ :

$-x>15\,$

dzielimy obie strony nierówności przez $- 1$ zmieniając jej znak:

$x<-15\,$

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba mniejsza od -15, tj. każda liczba z przedziału $(-\infty,-15)$ .

edytuj Nierówność kwadratowa

Nierówność kwadratowa (nierówność stopnia drugiego) to nierówność postaci

a x 2 + b x + c > 0

dla $a \neq 0$ (ewentualnie $<,\geq,\leq,\neq$ )

W dziedzinie liczb rzeczywistych rozwiązaniem nierówności kwadratowej może być:

cały zbiór liczb rzeczywistych, np. $x 2 + 1 > 0$
przedział ograniczony (obustronnie otwarty albo obustronnie domknięty), np. $x 2 < 4$
przedział zdegenerowany (jedna liczba), np. $x^2\leq 0$
suma dwu rozłącznych przedziałów nieograniczonych (obu jednostronnie otwartych albo obu jednostronnie domkniętych), np. $x^2 \geq 4$
zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem jednej liczby, np. $x 2 > 0$
zbiór pusty, np. $x 2 < 0$

edytuj Nierówność algebraiczna

Nierówności liniowe i kwadratowe to szczególne przypadki nierówności algebraicznych, tj. nierówności postaci $P (x) > 0$ (ewentualnie $<,\geq,\leq,\neq$ ) gdzie $P$ jest wielomianem. Stopniem nierówności nazywa się stopień wielomianu $P (x)$ .

Aby rozwiązać nierówność algebraiczną, należy rozwiązać równanie algebraiczne $P (x) = 0$ i sprawdzić, czy nierówność zachodzi pomiędzy poszczególnymi miejscami zerowymi, zwracając uwagę na zachowanie $P$ w nieskończoności.

Przykładowo nierówność

$(x+1)(x-3)(x-8) \geq 0$

jest spełniona dla $x \in \{-1, 3, 8\}$ . Zbadajmy zachowanie wielomianu pomiędzy pierwiastkami:

Dla $x \in (-\infty, -1)$ lewa strona jest ujemna; nierówność nie zachodzi
Dla $x \in (-1, 3)$ lewa strona jest dodatnia; nierówność zachodzi
Dla $x \in (3, 8)$ lewa strona jest ujemna; nierówność nie zachodzi
Dla $x \in (8, \infty)$ lewa strona jest dodatnia; nierówność zachodzi.

Tak więc $x \in [-1, 3] \cup [8, \infty)$ .

Taki sposób postępowania jest przydatny dla nierówności typu $f (x) > 0$ gdzie $f$ jest funkcją ciągłą. Należy wyznaczyć wszystkie miejsca zerowe funkcji $f$ i zbadać jej zachowanie miedzy nimi.

Można mówić o nierówności liniowej, kwadratowej, algebraicznej itp. ze względu na wybrane wiadome. Na przykład, nierówność 5x - 3y - 1/z > 2 jest liniowa ze względu na niewiadome x i y.

Nierówności z funkcjami wymiernymi doprowadza się do nierówności algebraicznych korzystając z własności: nierówność

$\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ dla $Q(x)\neq 0$

jest równoważna nierówności

P (x) Q (x) > 0

edytuj Nierówności trygonometryczne

Nierówności trygonometryczne to nierówności zawierające funkcje trygonometryczne, np.

sin x > 0

Ich rozwiązaniem jest zwykle nieskończona suma przedziałów, np. w tym przypadku $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k \pi; (2k+1)\pi)$ .

edytuj Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Nierówności wykładnicze najczęściej przekształca się do postaci

a x > b

która, po zlogarytmowaniu, jest równoważna nierówności

x > log a b

dla $a \in (1,\infty)$

lub

x < log a b

dla $a \in (0,1)$ .

Natomiast nierówności logarytmiczne przekształca się do postaci

log a x > b

która jest równoważna postaci

x > a b

dla $a \in (1,\infty)$

lub

x < a b

dla $a \in (0,1)$ .

edytuj Nierówności z parametrem

Jeżeli jedną lub kilka zmiennych uznaje się za stałą, to mówi się o nierówności z parametrem (parametrami).

Przykładem może być $(x-6)^2 \leq a-1$ .

Jeżeli $a$ jest parametrem, to:

dla $a < 1$ nierówność nie ma rozwiązań;
dla $a=1\,$ jedynym rozwiązaniem nierówności jest $x = 6$ ;
dla $a > 1$ rozwiązaniem nierówności są liczby z przedziału $[6-\sqrt{a-1},6+\sqrt{a-1}]$ .

Jeżeli $x$ jest parametrem, to rozwiązaniem nierówności są liczby z przedziału $[(x-6)^2 + 1, \infty)$ .

edytuj Dowodzenie nierówności

Dowodzenie nierówności polega na przedstawieniu dowodu, że nierówność jest spełniona dla wszystkich rozważanych liczb (zwykle rzeczywistych lub dodatnich)

edytuj Przekształcenia

Najczęściej przy dowodzeniu nierówności wykorzystuje się przekształcenia algebraiczne i trygonometryczne.

Przykład: udowodnić, że dla każdego $a,b,c \in \mathbb{R}$ zachodzi

$a^2+b^2+c^2 \geq ab + bc + ca$

Mnożąc obie strony nierówności przez 2 otrzymujemy

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \geq 0$

co jest równoważne nierówności

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$

a suma kwadratów liczb rzeczywistych jest zawsze nieujemna.

edytuj Redukcja do innych nierówności

Często dowodząc nierówności korzysta się z ogólniejszej, której prawdziwość została już stwierdzona. Do nierówności szczególnie używanych w tym celu zalicza się:

edytuj Użycie metod analizy matematycznej

Ważnym narzędziem używanym do dowodzenia nierówności jest rachunek różniczkowy. Pozwala on badać monotoniczność funkcji.

Innym źródłem nierówności jest rachunek całkowy, przykładem może być nierówność Younga.

edytuj Nierówności geometryczne

Nierówności zawierające długości boków trójkąta często udowadnia się stosując podstawienie $a = y + z, b = z + x, c = x + y$ . Wówczas $x=\frac{b+c-a}{2}$ , $y=\frac{c+a-b}{2}$ , $z=\frac{a+b-c}{2}$ . Z nierówności trójkąta wynika, że $x, y, z > 0$ i nierówność sprowadza się do nierówności dla liczb dodatnich.

Do ważniejszych nierówności w trójkącie oprócz nierówności trójkąta należą $R\geq2r$ i nierówność Erdősa.

edytuj Nierówności podwójne

Obszar dopuszczalny w programowaniu liniowym jest zdefiniowany układem nierówności liniowych.

Zapis $a<b<c\,$ oznacza, że $a<b\,$ i $b<c\,$ . Z przechodniości wynika, że $a < c$ . Oczywiście do wszystkich członów nierówności można dodać/odjąć tę samą liczbę, lub pomnożyć/podzielić przez tę samą liczbę, ewentualnie zmieniając znak. Przykładowo, $a < b + e < c$ jest równoważne $a - e < b < c - e$ .

Ten zapis może być uogólniony dla dowolnej liczby członów: $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ oznacza, że $a_i \leq a_{i+1}$ dla $i = 1,2,\cdots,n-1$ . Z przechodniości, warunek ten jest równoważny $a_i \leq a_j$ dla wszystkich $1 \leq i \leq j \leq n$ .

Koniunkcję kilku nierówności nazywa się układem nierówności.

edytuj Oznaczenie różnicy rzędów wielkości

Czasami (np. w fizyce) stosuje się zapisy oznaczające, że jedna wielkość jest większa od innej, zwykle o kilka rzędów wielkości:

Zapis a >> b oznacza, że a jest znacznie większe niż b.
Zapis a << b oznacza, że a jest znacznie mniejsze niż b.

Przykładem może być zapis v << c, oznaczający, że rozważana prędkość jest znacznie mniejsza od prędkości światła i w związku z tym zamiast praw mechaniki relatywistycznej można stosować prawa mechaniki klasycznej.

edytuj Porządek w zbiorze liczb zespolonych

W zbiorze liczb zespolonych można zdefiniować porządek leksykograficzny. W ten sposób jest on zbiorem uporządkowanym liniowo. Jednak nie można określić relacji $\leq$ , tak aby $(\mathbb{C},+,\cdot,\leq)$ był ciałem uporządkowanym.

Dowód: Gdyby istniała relacja $\leq$ , że $(\mathbb{C},+,\cdot,\leq)$ był ciałem uporządkowanym, to spełniałby następujące warunki:

jeżeli $a\leq b$ to $a+c \leq b+c$
jeżeli $0\leq a$ i $0 \leq b$ to $0 \leq ab$

Ponieważ $\leq$ jest porządkiem liniowym, dla każdego $a$ mamy $a \leq 0$ lub $0 \leq a$ . W obu przypadkach $0\leq a^2$ . Jednak kwadratami 1 i $i\,$ są 1 i -1, a nie może być równocześnie $0\leq 1$ i $0 \leq -1$ .

Przypisy

↑ Ogólniej zbiór może być częściowo uporządkowany.
↑ Należy pamiętać, że dziedziną nierówności może być dowolny zbiór, np. dziedziną nierówności $det A > 0$ jest zbiór macierzy rzeczywistych. Obiekty po lewej i prawej stronie nierówności muszą pochodzić ze zbioru uporządkowanego.