Moduł (matematyka).html
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: wartość bezwzględna liczby rzeczywistej, moduł liczby zespolonej.

Spis treści

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej.

Ponieważ każda grupa abelowa może być traktowana jako moduł nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki

edytuj Definicja

Niech R będzie pierścieniem z jedynką. Moduł (lewostronny) nad R to struktura algebraiczna (M, + ,0,μ) taka, że[1][2][3]

  • (M, + ,0) jest grupą abelową,
  • μ jest funkcją R \times M \to M taką, że oznaczając μ(r,x) = rx następujące warunki są spełnione dla wszystkich r, s \in R oraz x, y \in M:
    1. r(x + y) = rx + ry,
    2. (r + s)x = rx + sx,
    3. r(sx) = (rs)x,
    4. 1x = x,

gdzie 1 jest jedynką pierścienia R.

Należy zauważyć, że niektórzy autorzy (np. Komorowski[4]) włączają w definicję modułu pierścień R, co objawia się w formalnym zapisie jako (M, +; R, +, \cdot; \mu).

edytuj Działanie pierścienia na grupie

Jeżeli działanie skalarne zapisze się jako fr, tak że fr(x) = rx, a f będzie przekształceniem przyporządkowującym każdemu r odpowiadające mu odwzorowanie fr, to pierwszy aksjomat mówi, iż każde fr jest homomorfizmem grupowym M, a trzy pozostałe zapewniają, że f jest homomorfizmem pierścienia R w pierścień endomorfizmów \operatorname{End}(M). Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy na zbiorze). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.

edytuj Modyfikacje definicji

Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub RM. Prawostronny R-moduł M lub MR definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. mnożenie przez skalar jest odwzorowaniem M \times R \to M z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami r,s po prawej stronie x,y. Tę samą strukturę można otrzymać zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek 3. przez

3.' r(sx) = (sr)x.

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych - jeśli M jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad R, to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad R0, gdzie symbol R0 oznacza pierścień przeciwny do R, tzn. zbiory R i R0 są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli (a, b) \mapsto ab jest działaniem mnożenia dla a, b\in R, to (a,b) \mapsto ba określa mnożenie w R0. W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były unitarne) pomijają czwarty warunek w powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „unitarnymi modułami lewostronnymi” (bądź modułami lewostronnymi z jedynką). W tym artykule jednak, przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Gdy R jest pierścieniem przemiennym, to warunki 3. i 3.' są równoważne - mówimy wówczas krótko o module nad R. Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.

edytuj Przykłady

Grupy abelowe 
Jeśli G jest grupą abelową, to G jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych \mathbb Z. Mnożenie (lewostronne) przez liczby całkowite definiujemy następująco:
zg = gz dla g \in G oraz z \in \mathbb Z,

gdzie gz jest potęgą elementu g w grupie G. Sprawdza się, że aksjomaty modułu podane powyżej są spełnione w tej strukturze.

Przestrzenie liniowe 
Jeśli V jest przestrzenią liniową nad ciałem K, to V jest modułem nad K: (\mathrm v, k) \mapsto k\mathrm v, gdzie \mathrm v \in V, k \in K. Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem K jest przestrzenią liniową nad K.
Ideał 
Jeśli I jest (lewostronnym) ideałem pierścienia R, to I jest także modułem (lewostronnym) nad R (gdzie mnożenie przez skalary jest mnożeniem w pierścieniu R).

edytuj Podmoduły i homomorfizmy

Niech M będzie lewostronnym R-modułem, a N podgrupą w M. Wtedy N jest podmodułem (lub dokładniej: R-podmodułem), jeżeli

rn \in N

dla wszystkich n \in N oraz r \in R.

Zbiór podmodułów danego modułu M, wraz z dwoma działaniami dwuargumentowymi:

dodawaniem kompleksowym + oraz przekrojem zbiorów \cap

jest kratą w której spełnione jest prawo modularności:

dla danych podmodułów U, N1, N2 modułu M takich, że N_1\subset N_2, równe są podmoduły (N_1+U)\cap N_2 = N_1+(U\cap N_2).

Niech M i N będą lewostronnymi R-modułami. Przekształcenie f\colon M \to N jest homomorfizmem R-modułów, jeżeli dla dowolnych m, n \in M oraz r, s \in R zachodzi

f(rm + sn) = rf(m) + sf(n).

Tak jak jakikolwiek inny homomorfizm struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. Bijektywny homomorfizm modułów jest ich izomorfizmem, które nazywane są przy tym przekształceniu izomorficznymi. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.

Jądro homomorfizmu modułów f\colon M \to N jest podmodułem M składającym się ze wszystkich elementów przekształcanych przez f na zero. Twierdzenie o izomorfizmie znane z teorii grup i przestrzeni liniowych zachodzi również dla R-modułów.

Lewostronne R-moduły z ich homomorfizmami tworzą kategorię oznaczaną R\mbox{-}\mathbf{Mod}. Jest to kategoria przemienna.

Przypisy

  1. ↑ Browkin, Jerzy: Teoria Ciał. Biblioteka Matematyczna Tom 49. Państwowe Wydawnictow Naukowe, Warszawa 1978. s. 88n.
  2. ↑ Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973; s. 92.
  3. ↑ Więsław, Witold: Grupy, pierścienie, ciała. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1977; s. 284.
  4. ↑ Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978; s. 19.

edytuj Zobacz też
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.