Logarytm.html

Wykres logarytmu dziesiętnego

Logarytm przy podstawie $a\;$ z liczby $b\;$ , zapisywany $\log_a b\;$ to taka liczba $c\;$ , że podstawa $a\;$ podniesiona do potęgi $c\;$ daje logarytmowaną liczbę $b\;$ .

Symbolicznie:

$\log_a b = c \iff a^c=b\;$ ,

gdzie $a>0\;$ , $a\neq 1\;$ oraz $b>0\;$ .

Na przykład $\log_2 8 = 3\;$ , ponieważ $2^3=8\;$ .

edytuj Logarytm dla liczb rzeczywistych

edytuj Logarytm naturalny

Zobacz więcej w osobnym artykule: Logarytm naturalny.

Logarytm naturalny (Nepera)^[1], to logarytm przy podstawie e≈2,718281828.

$\operatorname{ln} x=\log_e x\;$

Logarytm o tej podstawie ma pewne szczególne właściwości i często pojawia się w analizie, na przykład we wzorze na pochodną funkcji logarytmicznej:

$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}\log_b x=\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}\frac{\ln x}{\ln b}=\frac{1}{x\ln b}$

W przypadku pochodnej logarymu naturalnego $(b=e)\;$ z tego wzoru znika $\ln b\;$ gdyż $\ln b=\ln e=\log_e e=1\;$ . W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście najbardziej "naturalny" wśród logarytmów, gdyż upraszczają się dla niego niektóre wzory.

Podstawa logarytmu naturalnego e jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych. Więcej na ten temat w osobnym artukule.

edytuj Logarytm dziesiętny

Zobacz więcej w osobnym artykule: Logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu $\log x\;$ albo $\operatorname{lg} x$ oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

$\log x=\operatorname{lg} x=\log_{10} x$

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności $\log(x)\;$ oznacza logarytm naturalny w językach programowania, choć np. w arkuszach polskiego Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Dla dowolnej liczby $x\geqslant 1\;$ jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w dół i zwiększony o jeden jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym $x\;$ , np.

$\log 5083495,424=6,7061624\;$

Po zaokrągleniu w dół uzyskujemy 6, 6+1=7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem.

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie $b\;$ , należy użyć logarytmu o podstawie $b\;$ .

edytuj Własności

Z definicji natychmiast wynikają:

$a^{\log_a b} = b\;$ ,

$\log_a 1 = 0\;$ ,

$\log_a a = 1\;$ .

Z własności potęgi mamy również:

$\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\;$ ,

stąd też

$\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\;$ ,

oraz

$\log_a b^c = c\cdot \log_a b\;$ ,

$\log_a \sqrt[n]{b^c} = \tfrac{c}{n} \log_a b\;$ ,

i wreszcie

$\log_{a^n} b= \tfrac{1}{n} \log_a b\;$ ,

$\log_a b = \tfrac{1}{\log_b a}\;$ ,

a więc

$\log_a b \cdot \log_b a = 1\;$ ,

w szczególności

$\ln{10} \cdot \log e =1\;$ .

Bardzo przydatnym wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

$\frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x$

albo:

$\log_b x=\log_b a \log_a x\;$

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ( $\log_b x\;$ i $\log_a x\;$ powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Zachodzi również:

$a^{log_c b}=b^{log_c a}\;$

Każda liczba dodatnia posiada logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ $e^{\pi i} = -1\;$ ^[2]. Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa $a>1\;$ , to:

$\lim_{x\to 0}\log_a x=-\infty$

$\lim_{x\to +\infty}\log_a x=+\infty$

dla $0<a<1\;$ zachodzi natomiast:

$\lim_{x\to 0}\log_a x=+\infty$

$\lim_{x\to +\infty}\log_a x=-\infty$

edytuj Logarytm dla liczb zespolonych

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech $z\;$ będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

$\ln z = \ln |z|+i\operatorname{arg} z=\ln|z|+i(\phi+2k\pi)$

(*)

gdzie:

$k\;$ jest dowolną liczbą całkowitą,
$\ln |z|\;$ jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby $z\;$ (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
$\operatorname{arg}$ to argument liczby zespolonej $z\;$
$\phi\;$ to argument główny

W szczególności dla liczb zespolonych:

$\ln 1=2k\pi i,\;$

$\ln -1=(2k+1)\pi i,\;$

$\ln i=\frac{2k+1}{2}\pi i$

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych $k\;$ . Przyjmując $k=0\;$ otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: $\operatorname{Ln}$ . Inni^[3] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym z małej litery.

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych:

$\log_w z=\frac{\ln z}{\ln w}$ dla $z\ne 0$

gdzie:

$w\;$ i $z\;$ są liczbami zespolonymi.
$\ln z\;$ i $\ln w\;$ są dane wzorem (*)

edytuj Związane pojęcia

edytuj Funkcja logarytmiczna

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem $f(x)=\log_a x\;$ przy ustalonej podstawie $a\;$ .

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.

edytuj Kologarytm

Liczbę przeciwną do logarytmu z $x\;$ nazywało się niegdyś kologarytmem $x\;$ i oznaczało $\operatorname{clg} x$ lub $\operatorname{colog} x$ . Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu $-\log x\;$ . Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

edytuj Logarytm dyskretny

Zobacz więcej w osobnym artykule: Logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu $b\;$ (przy podstawie $a\;$ ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita $c\;$ , że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

$a^{c} = b\;$ .

edytuj Zastosowania

Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych (zamieniano je na łatwe dodawanie ich logarytmów). Dzisiaj, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, wyszły one właściwie z użytku podobnie jak suwak logarytmiczny.

edytuj Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przypisy

↑

Nazwisko autora pisane Neper

John Napier w opublikowanym przez siebie dziele Logarithmorum canonis descriptio użył pisowni nazwiska Neper, co tłumaczy przyjętą później i stosowaną powszechnie do dzisiaj nazwę.
↑ więcej w artykule o wzorze Eulera
↑ Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255.