Liczby rzeczywiste.html

Liczby rzeczywiste – liczby, które reprezentują wartości ciągłe (wraz z zerem i liczbami ujemnymi). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest przez symbol $\mathbb R$ lub po prostu $R$ .

Pojęcie liczby rzeczywistej określa wszystkie rodzaje liczb używane w praktyce codziennej – liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki itd.

Uogólnieniem pojęcia liczby rzeczywistej jest liczba zespolona.

Oś liczbowa jako interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Spis treści

1 Sposoby konstrukcji
2 Niektóre własności
- 2.1 Topologia
- 2.2 Teoria mnogości
3 Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych
4 Zobacz też

edytuj Sposoby konstrukcji

Zobacz więcej w osobnym artykule: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby rzeczywiste.

Klasycznie, istnieją trzy podejścia do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych. Pierwszy z nich - przy pomocy tzw. przekrojów Dedekinda, drugi - ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych, trzecia definicja jest definicją aksjomatyczną.

edytuj Niektóre własności

edytuj Topologia

Jeżeli zdefiniować odległość dwu liczb rzeczywistych $a$ i $b$ jako wartość bezwzględną $| a - b |$ ich różnicy, to zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią metryczną zupełną w tej metryce. Metrykę tę (i generowaną przez nią topologię) nazywa się często metryką (topologią) naturalną zbioru liczb rzeczywistych. Przestrzeń ta jest ośrodkowa (odpowiednim zbiorem gęstym jest na przykład zbiór liczb wymiernych), a więc spełnia drugi aksjomat przeliczalności, spójna i lokalnie zwarta.

Innym sposobem opisania topologii naturalnej jest podanie następującego warunku:

$T = \left\{ A \subset X: \forall_{x \in A}\ \exists_{\varepsilon > 0}\ (x - \varepsilon; x + \varepsilon) \subset A \right\}$

edytuj Teoria mnogości

Zbiór liczb rzeczywistych ma moc continuum, a więc większą od mocy zbioru liczb wymiernych (zobacz też: rozumowanie przekątniowe).
Zbiór liczb niewymiernych ma również moc continuum.

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem:

Szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych są:

liczby dodatnie i liczby niedodatnie, liczby ujemne i liczby nieujemne: zobacz znak liczby
liczby naturalne,
liczby całkowite,
liczby wymierne,
liczby niewymierne.

edytuj Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych

Przybliżoną, cyfrową reprezentacją liczby rzeczywistej w komputerze jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy.