Liczba sprzężona.html

Spis treści

1 Definicja
2 Uwagi
3 Własności
4 Macierz sprzężona
- 4.1 Przykład
5 Uogólnienia
6 Zobacz też

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

$\overline{3 + 2i} = 3 - 2i$ ,

$\overline{i} = -i$ ,

$\overline{7} = 7$ ,

$\overline{-2 - 3i} = -2 + 3i$ .

edytuj Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej $z = a + b i$ , gdzie $a, b \in \mathbb R$ jest liczba $a - b i$ nazywana liczbą sprzężoną do $z$ i oznaczana zwykle symbolem $\overline z$ . W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis $z^\star$ .

W postaci biegunowej sprzężenie liczby $r e i φ$ dane jest przez $r e - i φ$ . Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

edytuj Uwagi

Geometryczna reprezentacja

z

i jego sprzężenia $\overline{z}$ na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś $x$ -ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś $y$ -ów zawiera wielokrotności liczby $i$ . Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi $x$ .

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona $i$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej $- i$ , jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: $x 2 = - 1$ dla $x \in \mathbb R$ . Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli $\overline{({\overline z})} = z$ . Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

edytuj Własności

Niech $z, w$ będą liczbami rzeczywistymi, a $r$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

$\overline r = r$ .
Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

$\overline {z + w} = \overline z + \overline w$ .
Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

$\overline {z w} = {\overline z}\;{\overline w}$ .
Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

$|\overline z| = |z|$ .
Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

$\arg({\overline z}) = -\arg(z)$
Suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

$z + \overline z = 2\operatorname{Re}\;z$ .
Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

$z \overline z = |z|^2$ , stąd też $|z| = \sqrt{z \overline z}$ .
Jeżeli $z = r i$ , czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

$\overline z = -z \Leftrightarrow z = ri, \quad -z = -ri = \overline z$
Jeśli $z$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to $\overline z$ też nim jest.

edytuj Macierz sprzężona

Zobacz więcej w osobnym artykule: macierz sprzężona.

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

$\mathbf A = [a_{ij}] \mapsto \overline \mathbf A = [\overline{a_{ij}}]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

edytuj Przykład

$\mathbf A = \begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto \overline \mathbf A = \begin{bmatrix} 2-3i & 1+2i & -1-2i \\ 0 & -2 & 3-2i \\ i & 2+i & 2-i \end{bmatrix}$

edytuj Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a + b i + c j + d k$ jest kwaternion $a - b i - c j - d k$ . Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ można określić je wzorem $f(a + b \sqrt 2) = a - b \sqrt 2$ , a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.