Kwantyfikator ogólny.html

Kwantyfikator ogólny to kwantyfikator mówiący, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe przy dowolnej wartości zmiennej.

Istnieją dwie formy zapisu kwantyfikatora ogólnego:

$\forall x . \phi(x)$ (odwrócona litera A w zapisie jest związana z angielskim stwierdzeniem "ALL")

oraz

$\bigwedge _ x \phi(x).$

Co czyta się "dla każdego $x$ zachodzi $φ(x)$ ". Używa się też uproszczonej notacji wyrażenia "dla każdego $x$ należącego do zbioru $\mathbb A$ zachodzi $φ(x)$ ". Mianowicie, zamiast

$\forall x . (x \in \mathbb A \implies \phi(x))$

$\bigwedge _ x (x \in \mathbb A \implies \phi(x))$

pisze się

$\forall x \in \mathbb A . \phi(x)$

$\bigwedge _ {x \in \mathbb A} \phi(x).$

Jeżeli $X={x_0,x_1,\cdots ,x_n}$ stanowi podzbiór (niekoniecznie właściwy) argumentów $\!\phi (x)$ to:

$\forall x \in \mathbb X . \phi(x) \equiv \phi(x_0) \and \phi(x_1) \and \cdots \and \phi(x_n)$

Zanegowany kwantyfikator ogólny staje się kwantyfikatorem egzystencjalnym i na odwrót:

$\neg \forall x . \phi(x) = \exists x . \neg \phi(x)$

$\neg \exists x . \phi(x) = \forall x . \neg \phi(x).$

Generalnie, jeśli coś zachodzi "dla każdego $x$ ", to istnieje takie $x$ , że to zachodzi. Mamy więc implikację:

$\forall x . \phi(x) \implies \exists x . \phi(x).$

Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego $x$ zachodzi cokolwiek - z fałszem włącznie - bo nie możemy przecież znaleźć żadnego $x$ , dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że "coś istnieje".

edytuj Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki