Komutator.html

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego terminu.

Spis treści

1 Teoria grup
- 1.1 Tożsamości
2 Teoria pierścieni
- 2.1 Tożsamości
- 2.2 Przykład
3 Pierścienie i algebry z gradacją
4 Różniczkowania
5 Komutator w fizyce
6 Antykomutator
7 Zobacz też
8 Źródła

Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

edytuj Teoria grup

Komutator dwóch elementów $g$ i $h$ należących do grupy $G$ to element

g, h = g - 1 h - 1 g h

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ i $h$ komutują (czyli są przemienne, tzn. $g h = h g$ ). Podgrupa grupy $G$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy $G$ . Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

g, h = g h g - 1 h - 1

edytuj Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie $g x$ oznacza sprzężony (przez $x$ ) element $x - 1 g x$ .

$y, x = x, y - 1$ .
$\left[[x, y^{-1}], z\right]^y \cdot \left[[y, z^{-1}], x\right]^z \cdot \left[[z, x^{-1}], y\right]^x = 1$ .
$[x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z]$ .
$[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z$ .

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga: Powyższa definicja sprzężenia $g$ przez $x$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie $g$ przez $x$ jako $x a x - 1$ , zwykle zapisuje się to jako $x g$ .

edytuj Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów $a$ i $b$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

a, b = a b - b a

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

edytuj Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

$A, A = 0$ ,
$A, B = - B, A$ ,
$A, B, C] + B, C, A] + C, A, B] = 0$ .

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

$A, B C = A, B C + B A, C$ ,
$A B, C = A B, C + A, C B$ ,
$A, B C = A B, C + C A, B$ ,
$A B C, D = A B C, D + A B, D C + A, D B C$ ,
$[[A, B, C, D + [[B, C, D, A + [[C, D, A, B + [[D, A, B, C = [A, C, B, D]$ .

Jeżeli $A$ jest ustalonym elementem pierścienia $\mathfrak R$ , pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania $D_A\colon R \to R$ danego wzorem $B \mapsto [A, B]$ . Innymi słowy, odwzorowanie $D A$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu $\mathfrak R$ .

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

$e^{A}B e^{-A} = B + [A, B] + \tfrac{1}{2!}[A, [A, B]] + \tfrac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots$ .

edytuj Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy $\operatorname{d}$ , który przekształca funkcję w jej pochodną oraz $\operatorname{x}$ , który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej $F$ przebiega jak następuje:

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) = \operatorname{dx}\;F + \operatorname{xd}\;F = F + \operatorname{xd}\;F$ , ponieważ $\operatorname{dx} = 1$ ,
$\operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = \operatorname{xd}\;F$ .

Odjęcie tych równań stronami daje:

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F + \operatorname{xd}\;F - \operatorname{xd}\;F$ ,

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F$ .

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez $F$ jest

$(\operatorname{dx} - \operatorname{xd})F = F$ ,

$(\operatorname{dx} - \operatorname{xd}) = 1$ , czyli $[\operatorname{d}, \operatorname{x}] = 1$ .

Stąd wynik zastosowania obu operatorów $\operatorname{d}$ i $\operatorname{x}$ na funkcję $F$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

edytuj Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako $[ω,η] g r : = ωη - ( - 1) degωdegη ηω$ .

edytuj Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

$\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]$ .

Wówczas $\operatorname{ad}(x)$ jest różniczkowaniem, a $\operatorname{ad}$ jest liniowe, np. $\operatorname{ad}(x + y) = \operatorname{ad}(x) + \operatorname{ad}(y)$ oraz $\operatorname{ad}(\lambda x) = \lambda \operatorname{ad}(x)$ i homomorfizmem algebry Liego, np. $\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]$ , ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość $\operatorname{ad}(xy) = \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

$\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(x)(y) = \left[x, [x, y]\right]$ .
$\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(a+b)(y) = \left[x, [a + b, y]\right]$ .

edytuj Komutator w fizyce

Komutator jest często używany fizyce kwantowej:

W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona są zastępowane komutatorami, tzn. $[\operatorname{X}, \operatorname{P}] = \operatorname{XP}-\operatorname{PX} = i\hbar$ , gdzie $\operatorname X$ oraz $\operatorname P$ stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które w przypadku bozonów spełniają reguły komutacji, a fermionów antykomutacji.
W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

edytuj Antykomutator

Antykomutator ${a, b}$ lub $a, b +$ definiowany jest jako $a, b + = a b + b a$ . Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus $a, b -$ .

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn. $a, a + = 0 = a a + a a$ .

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym $[\cdot, \cdot]_\pm$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

edytuj Zobacz też

edytuj Źródła

David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X.
Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.