Homotopia.html
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

Homotopia – ciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Działem matematyki w którym się je rozważa jest teoria homotopii, gałąź topologii algebraicznej.

Pojęcie homotopii prowadzi do homotopijnej równoważności, która pozwala na bardziej elastyczną niż relacja homeomorfizmu klasyfikację przestrzeni topologicznych zachowując przy tym ważne ich własności w obrębie jednej klasy równoważności (klasy homotopii).

Homotopia między kubkiem a obwarzankiem (torusem).
Homotopia między kubkiem a obwarzankiem (torusem).

Spis treści

edytuj Definicja

Niech f, g\colon X \to Y będą przekształceniami ciągłymi określonymi na przestrzeniach topologicznych oraz I = [0, 1] \subset \mathbb R będzie przedziałem jednostkowym. Jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie H\colon X \times I \to Y takie, że f(x) = H(x,0) oraz g(x) = H(x,1) dla x \in X, to nazywamy je homotopią przekształceń f i g i oznaczamy f˜g, same przekształcenia określamy jako homotopijne.

edytuj Rodziny przekształceń

Homotopia H\colon X \times I \to Y określa rodzinę przekształceń f_t\colon X \to Y taką, że ft(x) = H(x,t) ciągłą ze względu na każdy ze swoich argumentów, przy czym f0 = f oraz f1 = g.

Homotopia H określa również rodzinę dróg h_x\colon I \to Y,\; h_x(t) = H(x, t) łączących f(x) z g(x) dla x \in X.

edytuj Ściągalność i gwiaździstość

Obszar D\subseteq \mathbb{R}^n nazywamy ściągalnym różniczkowalnie do punktu x_0\in D, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe, klasy \mathcal{C}^1, D\times [0,1]\ni (x,t)\mapsto h(x,t)\in D takie, że dla każdego x\in D

h(x,0)=x_0,\; h(x,1)=x.

Obszar D\subseteq \mathbb{R}^n nazywamy gwiaździstym względem punktu x_0\in D, jeśli dla każdego x\in D odcinek łączący punkt x z x0 zawiera się w D, tj. \{y\colon\; y=x_0+t(x-x_0), t\in [0,1]\}\subseteq D.

Łatwo wykazać, że zbiór gwiaździsty względem punktu x0 jest ściągalny do x0. Żądane odwzorowanie h jest postaci h(x,t): = x0 + t(x − x0). Dla obszarów ściągalnych zachodzi lemat Poincarégo.

Przestrzeń X nazywamy ściągalną do punktu a \in X, jeżeli \operatorname{id}_X jest homotopijna z przekształceniem stałym \varepsilon_a(x) = a.

edytuj Relacja równoważności

Dla ustalonych przestrzeni topologicznych X,Y relacja homotopii w przestrzeni funkcji ciągłych C(X,Y) jest relacją równoważności. Jej klasy równoważności nazywa się klasami homotopii.

Zwrotność jest oczywista, symetria polega na odwróceniu przechodzenia po przedziale I, przechodniość wynika ze składania odwzorowań: pierwsza połowa I służy do przejścia po pierwszym odwzorowaniu, druga – po drugim, złożenie odwzorowań ciągłych jest ciągłe.

edytuj Przykłady

  • Jeśli Y = \mathbb R^m, to funkcje f i g są zawsze homotopijne między sobą. Wystarczy przyjąć H(x,t) = f(x) + t\left(g(x) - f(x)\right).
  • Jeśli X = Y = \mathcal S^m – m-wymiarowa sfera jednostkowa, to powyższe nie jest prawdą. Na przykład, identyczność i funkcja stała nie są homotopijne[1].

edytuj Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii

Niech X będzie przestrzenią normalną oraz M jest domkniętą podprzestrzenią. Jeśli f,g\colon M\to \mathcal{S}^m są homotopijne oraz f jest przedłużalne na X, to g jest przedłużalne na X oraz dla każdego przedłużenia f można znaleźć przedłużenie g z nim homotopijne.

Jest to twierdzenie sformułowane przez Karola Borsuka w 1937[2]. Często, dla uproszczenia dowodu, zakłada się dodatkowo przeliczalną parazwartość przestrzeni X.

edytuj Homotopijna równoważność

Przestrzenie X oraz Y są homotopijnie równoważne (lub: mają ten sam typ homotopii, jeżeli istnieją przekształcenia ciągłe f\colon X \to Y oraz g\colon Y \to X takie, że g \circ f \sim \operatorname{id}_X oraz f \circ g \sim \operatorname{id}_Y.

Typ homotopii jest osłabieniem warunku homeomorficzności dwóch przestrzeni. Jest on dostosowany do teorii homotopii i homologii - własności homotopijne i (ko)homologiczne przestrzeni topologicznych przestrzeni i tym samym typie homotopii są takie same - wszystkie grupy homotopii i homologii są izomorficzne, a za pomocą teorii homologii i homotopii nie można tych przestrzeni od siebie odróżnić (nawet przy użyciu struktury pierścienia w grupach kohomologii - cup produktu).

Przestrzenie homeomorficzne mają ten sam typ homotopii - jeśli f jest homeomorfizmem to za odwzorowanie g może służyć f − 1 - zamiast homotopijności z identycznościami mamy nawet równości.

W drugą stronę jest to nieprawda. Przykładowo, zbiory X = [0,1] i Y = (0,1) z topologią euklidesową mają ten sam typ homotopii, lecz nie są homeomorficzne - X jest zwarty a Y nie.

edytuj Przykłady

  • Przestrzeń ściągalna X jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową Y = {a}, ponieważ \operatorname{id}_Y \circ \varepsilon_a = \varepsilon_a \sim \operatorname{id}_X oraz \varepsilon_a \circ \operatorname{id}_Y = \operatorname{id}_Y dla \varepsilon_a(x) = a dla dowolnego x \in X.
  • Okrąg jednostkowy \mathcal{S}^1 jest homotopijnie równoważny z płaszczyzną bez punktu, \mathbb R^2 \setminus \{0\}.

edytuj Źródła

  1. S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005
  2. Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976. 

edytuj Bibliografia

  1. ↑ Kuratowski, Kazimierz Wstęp do teorii mnogości i topologii, s. 211; PWN, Warszawa, 1966.
  2. ↑ Borsuk, Karol Sur les prolongements des transformations continues, s. 99-110; Fund. Math. 28, Warszawa, 1937.

edytuj Zobacz też
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.