Hiperbola (matematyka).html

Hiperbola - krzywa stożkowa, będąca zbiorem punktów takich, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne $( - c,0)$ i $(c,0)$ to można ją opisać równaniem:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

gdzie $a$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast $b$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek: $b 2 = c 2 - a 2$ .

Jeżeli $a = b$ to hiperbolę nazywamy równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi $e={2c \over 2a}={c \over a} > 1$ . Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywamy proste wyrażone równaniami $x=\pm{a \over e}=\pm{a^2 \over c}$ .

Obierzmy na hiperboli dowolny punkt $P = (x, y)$ , przez $r 1$ oznaczmy odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez $r 2$ odległość pomiędzy punktem $P$ a prawym ogniskiem - proste przechodzące przez te punkty nazywamy ogniskowymi promieniami wodzącymi. Wtedy mają miejsce następujące związki:

dla prawej gałęzi: $r 1 = a + e x$ $r 2 = - a + e x$
dla lewej gałęzi: $r 1 = - a - e x$ $r 2 = a - e x$

Niech $d 1$ będzie odległością ustalonego punktu $P$ od lewej kierownicy, a $d 2$ , odpowiednio, od prawej. Wówczas:

${r_1 \over d_1}={r_2 \over d_2}=e$ .

Hiperbolę o równianiu

$-{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1$

nazywamy hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

$y=\pm{b \over a}x$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywamy średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie $Q = (p, q)$ hiperboli spełnia równanie

${px \over a^2}-{qy \over b^2}=1$ .

Hiperbola (matematyka).html

edytuj Zobacz też