Grupa rozwiązalna.html

Grupa rozwiązalna – grupa dla której istnieje ciąg subnormalny o faktorach abelowych.

Spis treści

Mówimy, że grupa $G$ jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki jej ciąg podgrup normalnych grupy $G$ :

$\{1\}=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_{k-1}\vartriangleleft H_k=G$ ,

H i + 1 / H i

są abelowe dla $i\leqslant k-1$ .

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa

G

jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy

G (n) = 1

dla pewnej liczby

n

gdzie $G (n)$ oznacza $n$ -tą pochodną grupy $G$ . Najmniejszą taką liczbę $n$ nazywa się stopniem rozwiązalności grupy $G$ .

Jeżeli grupa $G$ jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy $G$ są grupami cyklicznymi rzędu, będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera).

Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
Jeśli $H \vartriangleleft G$ i grupa $G$ jest rozwiązalna, to iloraz $G / H$ również jest grupą rozwiązalną.
Jeżeli $H \vartriangleleft G$ oraz grupy $H$ i $G / H$ są rozwiązalne, to $G$ również jest grupą rozwiązalną.
Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.

Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
p-grupy są rozwiązalne.
Grupa permutacji S_n jest rozwiązalna dla $n=1,\;2,\;3$ i nie jest rozwiązalna dla $n > 4$ .
Grupa alternująca $A 4$ jest nieabelową grupą rozwiązalną. $\{\operatorname{id}\}\vartriangleleft V_4 \vartriangleleft A_4$ , gdzie $V 4$ oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz $V_4 \simeq V_4/\{\operatorname{id}\}$ , ponadto $A_4/V_4 \simeq \mathbb Z_3$ , skąd $A 4$ jest rozwiązalna.
Nierozwiązaną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca $A 5$ .
Każda nieabelowa grupa prosta $G$ nie jest rozwiązalna, ponieważ $G/\{1\} \simeq G$ , a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.

Twierdzenie Feita-Thompsona: Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.
Twierdzenie Burnside'a: Każda grupa rzędu $p α q α$ jest rozwiązalna, gdzie $p, q$ są liczbami pierwszymi, a $α$ jest pewną liczbą naturalną.