Granica funkcji
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

 Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Spis treści

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

edytuj Historia

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue'a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą, ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

edytuj Granica w punkcie

Funkcja f\colon A \to \mathbb R określona na zbiorze A \subseteq \mathbb R ma w punkcie skupienia x0 tego zbioru granicę równą g, co zapisuje się f(x) \to g przy x\to x_0 lub \lim_{x \to x_0}f(x)=g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n \ne x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0 ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
dla każdej liczby \varepsilon > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że dla każdego x \in A z nierówności 0 < | x − x0 | < δ wynika nierówność |f(x) - g| < \varepsilon; w zapisie symbolicznym:
\lim_{x \to x_0}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

edytuj Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe.

Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w lewostronnym punkcie skupienia x0 dziedziny, co zapisuje się f(x) \to g przy x \to x_0^- lub \lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n < x_0 oraz \lim_{n \to\infty}~x_n = x_0, ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to x_0^-}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji f, co zapisuje się f(x) \to g przy x\to x_0^+ lub \lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n > x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0 ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

edytuj Granica niewłaściwa

Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą \pm\infty, co zapisuje się f(x) \to \pm\infty przy x\to x_0 lub \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n \ne x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0 ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do \pm\infty przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to x_0}~f(x) = +\infty \iff \forall_{M>0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M)
\lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty \iff \forall_{m < 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) < m).

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną.

edytuj Granica w nieskończoności

Funkcja f określona dla x > a\; (x < a) ma w plus (minus) nieskończoności granicę g, co zapisuje się f(x) \to g przy x \to \pm\infty lub \lim_{x \to \pm\infty}~f(x) = g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicje Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n > a\; (x_n < a) oraz x_n \to \pm\infty ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicje Cauchy'ego
\lim_{x \to +\infty}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; |f(x) - g| < \varepsilon
\lim_{x \to -\infty}~f(x) = g \iff\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x < \alpha}\; |f(x) - g| < \varepsilon

edytuj Granica niewłaściwa

Funkcja f określona na przedziale (a, \infty) ma w nieskończoności granicę niewłaściwą \pm\infty, co zapisuje się f(x) \to \pm\infty przy x \to \infty lub \lim_{x \to \infty}~f(x) = \pm\infty, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in (a;\infty) oraz x_n \to \infty, ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do \pm\infty przy n \to \infty, co zapisuje się \lim_{n \to \infty}~f(x_n) = \pm\infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to +\infty}~f(x) = +\infty \iff \forall_{M > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; f(x) > M
\lim_{x \to +\infty}~f(x) = -\infty \iff \forall_{m < 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\;\forall_{x > \alpha}\; f(x) < m

Analogicznie definiuje się granice niewłaściwe funkcji w -\infty.

edytuj Własności

  • Jeśli funkcje f i g określone są na zbiorze A \subseteq \mathbb R mają granice właściwe \lim_{x \to x_0}~f(x) = a i \lim_{x \to x_0}~g(x) = b, to:
  • \lim_{x \to x_0}~(f(x) \pm g(x)) = a \pm b,
  • \lim_{x \to x_0}~(f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b,
  • \lim_{x \to x_0}~\tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac{a}{b}, gdy g(x) \ne 0 oraz b \ne 0.
Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.
  • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że \lim_{x \to \infty}~\tfrac{\sin x}{x} = 0 nie oznacza, że istnieją granice \lim_{x \to \infty}~\sin x czy \lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x}. W podanym w przykładzie granica \lim_{x \to \infty}~\sin x nie istnieje, natomiast \lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x} = 0.
  • Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja f\colon A \to \mathbb R ma w punkcie x0 granicę \lim_{x \to x_0}~f(x) = y_0, funkcja h\colon B \to \mathbb R ma w punkcie y0 granicę \lim_{y \to y_0}~h(y) = g, przy czym x0 i y0 są odpowiednio punktami skupienia zbiorów A \cap f^{-1}(B) oraz B, przy czym f(x) \ne y_0 dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu x0, to \lim_{x \to x_0}~(h\circ f)(x) = \lim_{y \to y_0}~h(y) = g.

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = 0,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = 0 oraz f(x) > 0\; \big(f(x) < 0\big) w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = \pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty oraz c>0 \implies \lim_{x \to x_0}~cf(x)=\pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty oraz c<0 \implies \lim_{x \to x_0}cf(x)=\mp\infty,
  • \lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty oraz 0 < a \le h(x) w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty oraz h(x) \le a < 0 w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \mp\infty.

edytuj Zobacz też

edytuj Bibliografia
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.