Funkcja ciągła.html

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Ciągłość funkcji – jedna z najważniejszych własności funkcji.

Intuicyjnie ciągłą funkcję rzeczywistą określoną na przedziale można sobie wyobrazić jako posiadającą wykres, dający się narysować bez odrywania ołówka od papieru (oczywiście zakładając, że dopuszczamy „narysowanie” nieskończenie długiej linii).

Jeśli funkcja rzeczywista jest ciągła, to w dowolnym przedziale domkniętym zawartym w jej dziedzinie ma ona maksimum, minimum i przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy nimi.

Spis treści

1 Funkcje rzeczywiste
2 Przestrzenie metryczne i unormowane
3 Przestrzenie topologiczne
4 Własności
- 4.1 Funkcje rzeczywiste
- 4.2 Topologia
5 Przestrzeń funkcji ciągłych
6 Pojęcie teorio-mnogościowe
7 Zobacz też

edytuj Funkcje rzeczywiste

Dla funkcji rzeczywistych istnieją dwie definicje ciągłości: jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową. Niech $M \subseteq \mathbb R$ oraz $f\colon M \to \mathbb R$ .

edytuj Definicja Cauchy'ego

Jeżeli $f$ spełnia dla ustalonego $x \in M$ warunek

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to powiemy, że jest ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie $x$ . Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego $x \in M$ , czyli

$\forall_{x \in M}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to mówimy, że jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze $M$ .

edytuj Definicja Heinego

Powiemy że funkcja $f$ jest ciągła w sensie Heinego w punkcie $x \in M$ , jeśli dla każdego ciągu $(x n)$ liczb z $M$ , który jest zbieżny do $x$ ciąg wartości $\big(f(x_n)\big)$ jest zbieżny do $f (x)$ , czyli

$\forall_{x \in M}\; x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x)$ .

edytuj Uwagi

Warto zauważyć, że z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie. Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x \in X$ , gdy albo $x$ nie jest punktem skupienia zbioru $M$ , albo $\lim\limits_{a \to x}~f(a) = f(x).$

Należy także zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dla danego zbioru. Przesunięcie pierwszego kwantyfikatora na trzecią pozycję, mianowicie

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in M}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

Obie definicje są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

edytuj Ciągłość jednostronna

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla $y$ , mianowicie $y < x$ , aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Oczywiście definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do $x$ wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

edytuj Przykłady

Rozpatrujemy funkcje $\cdot\colon \mathbb R \to \mathbb R$ :

wszystkie funkcje elementarne są ciągłe (co jest również prawdą w ogólniejszym przypadku),
funkcja dana wzorem

$f(x) = \begin{cases} \tfrac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x \ne 0 \\\; 1 & \mbox{dla } x = 0 \end{cases}$

jest ciągła,

funkcja Dirichleta D jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny),
- funkcja $D_1(x) = x \cdot D(x)$ jest ciągła wyłącznie w punkcie $x = 0$ ,
- funkcja $D_{\mathbb Z} = \sin(x \pi) \cdot D(x)$ jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny,
funkcja Riemanna $R$ jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

edytuj Przestrzenie metryczne i unormowane

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeni unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą.

Dla przestrzeni metrycznych $(X, d X)$ oraz $(Y, d Y)$ funkcja $f\colon X \to Y$ jest ciągła, jeśli prawdziwy jest wzór

$\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in X}\; d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$ .

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

$f(B_X(x, \delta)) \subseteq B_Y(f(x), \varepsilon)$

albo

$B_X(x, \delta) \subseteq f^{-1}\big(B_Y(f(x), \varepsilon)\big)$ ,

gdzie $B X, B Y$ są kulami odpowiednio w $X, Y$ .

edytuj Przestrzenie topologiczne

Ciągłość funkcji w punkcie: dla otoczenia

V

punktu

f (x)

możemy znaleźć otoczenie

U

punktu

x

takie, że

f (U)

jest zawarte w

V

(czyli

U

jest zawarte w przeciwobrazie

V

)

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii, gdzie podejście przedstawionego dla powyższych przestrzeni jest niemożliwe (definiowanie ciągłości funkcji w jednym punkcie, potem rozszerzenie jej na wszystkie punkty dziedziny). Stosuje się powyższą definicję wyrażona w języku kul, które zastępuje się otoczeniami, co prowadzi do eleganckiej definicji poniżej.

Niech $(X,τ X)$ oraz $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi, a $f\colon X \to Y$ przekształceniem między nimi. Powiemy, że $f$ jest ciągła, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $Y$ jest zbiorem otwartym w $X$ , co zapisuje się następująco:

$\forall_{U \in \tau_Y}\; f^{-1}(U) \in \tau_X$ .

Równoważnie można wymagać, aby przeciwobraz zbioru domkniętego był domknięty. Jeśli przestrzenie $X, Y$ są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.

edytuj Własności

złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,

edytuj Funkcje rzeczywiste

Jeśli funkcja $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest ciągła, to $f$ na swojej dziedzinie

jest jednostajnie ciągła,
przyjmuje swoje ekstrema, zob. twierdzenie Weierstrassa,
ma własność Darboux, zob. twierdzenie Darboux.

edytuj Topologia

Niech $(X,τ X)$ i $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz $f, g\colon X \to Y$ .

Aby sprawdzić ciągłość funkcji $f$ nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni, lecz wystarczy to zrobić dla pewnej jej bazy $\mathcal B$ :

$\forall_{U \in \mathcal B}\; f^{-1}(U)\in \tau_X$ .

Z dobrych własności przeciwobrazu ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych:

przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w $Y$ jest domknięty $X$
dla każdego zbioru $A \subseteq X$ mamy $f(\operatorname{cl}\;A) \subseteq \operatorname{cl}\;f(A)$ , gdzie $\operatorname{cl}$ jest operatorem domknięcia,
dla $B\subseteq Y$ zachodzi $\operatorname{cl}\;f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}\;B)$ ,

Przy przekształceniach ciągłych zachowywane są takie własności przestrzeni jak:

Jeśli zbiór $D$ jest gęsty w $X$ oraz $f\bigg|_D = g\bigg|_D$ , to $f = g$ .

Niech $I \subseteq \mathbb N$ oraz $X = \prod_{i \in I}~X_i$ będzie produktem Tichonowa, wówczas dla $j \in I$ przekształcenie

$\pi_j\colon X \to X_j, x = \langle x_i\colon i \in I \rangle \mapsto x_j$

jest ciągłym rzutem na $j$ -tą współrzędną.

edytuj Przestrzeń funkcji ciągłych

W topologii i analizie funkcjonalnej często bada się przestrzenie, których elementami są funkcje ciągłe z pewnej przestrzeni topologicznej w inną, które dla arbitralnych przestrzeni $X, Y$ oznacza się symbolem $\mathcal C(X, Y)$ . Takie przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni funkcyjnych.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień $\mathcal C(X, \mathbb R)$ o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z $X$ w $\mathbb R$ i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni $(X,τ X)$ .

Na przestrzeni $\mathcal C(X, \mathbb R)$ rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej: zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie $\prod_{x \in X}~\mathbb R$ ,
zbieżności jednostajnej: w której bazą otoczeń punktu $f \in \mathcal C(X)$ jest $\{U_n(f)\colon n = 1, 2, 3, \dots\}$ ,; gdzie $U_n(f) = \left\{g \in \mathcal C(X)\colon \forall_{x \in X}\; |f(x) - g(x)| < \tfrac{1}{n}\right\}$ .

edytuj Pojęcie teorio-mnogościowe

Niech $(A, \le_A)$ oraz $(B, \le_B)$ będą porządkami zupełnymi, wtedy funkcja $f: A \to B$ jest ciągła jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn: