Dyfeomorfizm.html

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Dyfeomorfizm przywiedlny
- 1.2 Dyfeomorfizm zachowujący orientację
  - 1.2.1 Twierdzenie
2 Grupa automorfizmów
3 Ważne dyfeomorfizmy
4 Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie
5 Źródła
6 Zobacz też

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie.

Dyfeomorfizm – rodzaj odwzorowania różniczkowalnego w analizie matematycznej będący izomorfizmem rozmaitości różniczkowalnych tak, że odwzorowanie i odwrotne do niego są gładkie.

edytuj Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz $D$ niepustym podzbiorem $X$ . Przekształcenie $F\colon D \to Y$ nazywamy dyfeomorfizmem, jeśli

$D$ oraz jego obraz $F (D)$ są zbiorami otwartymi (czyli $F$ jest odwzorowaniem otwartym),
$F$ jest funkcją odwracalną,
$F$ i $F - 1$ są klasy $C 1$ .

Z powyższej definicji wynika, że jeśli $F$ jest dyfeomorfizmem, to $F$ i $F - 1$ są odwzorowaniami regularnymi. Inaczej, każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem.

W szczególnym przypadku, gdy $X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^k$ , dyfeomorfizm to po prostu homeomorfizm klasy $C 1$ o różniczce maksymalnego rzędu, którego funkcja odwrotna jest klasy $C 1$ w $F (D)$ .

edytuj Dyfeomorfizm przywiedlny

Niech $D$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^m$ . Mówimy że dyfeomorfizm $\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\colon D\to \mathbb{R}^m$ jest przywiedlny, jeśli istnieją takie $i,j\leq m$ , że $\varphi_i(x_1,\ldots,x_m)=x_j$ dla $(x_1,\ldots, x_m)\in D$ .

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.

edytuj Dyfeomorfizm zachowujący orientację

Funkcja $\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)$ jest dyfeomorfizmem, gdy jest bijekcją klasy $C 1$ , taką że $\varphi^\prime(t)\neq 0$ dla $t\in (a,b)$ . (Por. definicję dla $X=Y=\mathbb{R}$ ). Mówimy, że dyfeomorfizm $\varphi$ zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli $\varphi^\prime>0$ . W przeciwnym wypadku, gdy $\varphi^\prime<0$ , mówimy, że $\varphi$ zmienia orientację.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

edytuj Twierdzenie

Niech $G$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$ , $\Gamma\colon [a,b]\to G$ będzie drogą kawałkami gładką oraz $\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)$ będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy $\Omega\in F^1_0(G; Y)$

$\int\limits_{\Gamma\circ \varphi}\Omega=\varepsilon(\varphi)\int\limits_{\Gamma}\Omega$ ,

gdzie $\varepsilon(\varphi)=1$ , gdy $\varphi$ zachowuje orientację oraz $\varepsilon(\varphi)=-1$ , gdy $\varphi$ zmienia orientację.

edytuj Grupa automorfizmów

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej $M$ jest dyfeomorfizmem $M$ na siebie. W ten sposób można rozważać grupę automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznaczamy przez $\operatorname{Diff}M$ .

edytuj Ważne dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm biegunowy: Niech $B = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \subset \mathbb R^2$ . Funkcja określona wzorem $b (r,τ) = (r cosτ, r sinτ)$ przeprowadza $B$ na obszar $\mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leq 0\right\}$ . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia $J B = r$ .
Dyfeomorfizm sferyczny: Niech $S = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right) \subset \mathbb R^3$ . Funkcja określona wzorem $s(r, \sigma, \tau) = \left(r\cos \tau \cos \sigma, r\cos \tau \sin \sigma, r\sin \tau \right)$ przeprowadza zbiór $S$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x \leq 0, y=0\right\}$ . Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia wynosi $J S = r 2 cosσ$ .
Dyfeomorfizm walcowy: Niech $W = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \mathbb R \subset \mathbb R^3$ . Funkcja określona wzorem $w (r,τ, z) = (r cosτ, r sinτ, z)$ przeprowadza $W$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x \leq 0, y=0\right\}$ . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia również wynosi $J W = r$ .

edytuj Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz będzie dane odwzorowanie $F\colon D \rightarrow Y$ . Jeśli $F$ jest regularne, to dla każdego $x\in D$ istnieje jego otoczenie $U x$ , że odzworowanie $F|_{U_x}$ jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

edytuj Źródła

Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.