Całka względem miary wektorowej.html

Całka względem miary wektorowej - rozszerzenie konstrukcji całki Lebesgue'a na miary wektorowe. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie - względem miar wektorowych - zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. John von Neumann zbudował mechanikę kwantową w oparciu o miary spektralne, szczególne miary wektorowe.

edytuj Konstrukcja

Niech $M$ będzie niepustym zbiorem, $\mathfrak{M}$ będzie σ-ciałem jego podzbiorów oraz niech $B(\mathfrak{M})$ oznacza zbiór wszystkich $\mathfrak{M}$ -mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru $M$ w ciało skalarów $K$ . Dalej, niech $E$ będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad $K$ oraz $\nu\colon \mathfrak{M}\to E$ będzie miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu, tj. $\|\nu\|(M)<\infty$ .

Jeżeli funkcja $f\colon M\to K$ jest $\mathfrak{M}$ -mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci

$f=\sum_{j=1}^N\alpha_j\mathbf{1}_{A_j}$ ,

gdzie $\alpha_1,\ldots, \alpha_N\in K$ , a zbiory $A_1,\ldots, A_N\in\mathfrak{M}$ są parami rozłączne i $\bigcup_{j=1}^NA_j=M$ . Wzór

$T_\nu f=\sum_{j=1}^N\alpha_j\nu(A_j)$

określa odzworowanie liniowe przestrzeni

$Y=\{f\in B(\mathfrak{M})\colon\; \operatorname{card}f(M)<\aleph_0\}$

w przestrzeń $E$ . Odwzorowanie to jest ciągłe oraz $\|T_\nu\|=\|\nu\|(M)$ . Podprzestrzeń $Y$ jest gęsta, więc odwzorowanie $T ν$ można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni $B(\mathfrak{M})$ w przestrzeń $E$ , które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal $\|T_\nu\|=\|\nu\|(M)$ . Jeżeli $f\in B(\mathfrak{M})$ , to zamiast $T ν f$ piszemy też

$\int\limits_M f d\nu$ .

Jeżeli $f\in B(\mathfrak{M})$ oraz $x^\star \in E^\star$ , to

$x^\star \int\limits_M f d\nu=\int\limits_M f d(x^\star\circ \nu)$ .

Jeżeli $A\in\mathfrak{M}$ , a $f\colon A\to K$ jest ograniczoną funkcją $\mathfrak{M}$ -mierzalną, to

$\int\limits_A f d\nu:=\int\limits_M f_0 d\nu$ ,

gdzie $f_0\colon M\to K$ dana jest wzorem $f 0 (x) = f (x)$ , gdy $x\in A$ oraz $f 0 (x) = 0$ , gdy $x\in M\setminus A$ .

Jeżeli $A,B\in \mathfrak{M}$ są rozłączne, a $f\colon A\cup N\to K$ jest ograniczoną funkcją $\mathfrak{M}$ -mierzalną, to

$\int\limits_{A\cup B} f d\nu=\int\limits_A f d\nu+\int\limits_B f d\nu$ .

Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.

edytuj Literatura

Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.