Algebra liniowa (struktura).html

Zobacz też: algebra liniowa – dział matematyki.

Zasugerowano, aby ten artykuł zintegrować z artykułem K-algebra.

Algebra liniowa – struktura matematyczna będąca przestrzenią liniową z dodatkowym działaniem dwuargumentowym spełniającym określone aksjomaty.

edytuj Definicja

Algebrą liniową nazywamy przestrzeń liniową $V\,$ nad ciałem $K\,$ , w której określone jest dodatkowe działanie $\cdot \, \colon \, V\times V \longrightarrow V$ , spełniające aksjomaty (AL1)-(AL4). Jeśli ponadto spełnia ono aksjomat (AL5), wówczas strukturę tę nazywamy algebrą liniową z jedynką.

(AL1) $\forall_{\alpha, \beta, \gamma \in V}\; (\alpha \cdot \beta)\cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$

(AL2) $\forall_{\alpha, \beta, \gamma \in V}\; (\alpha + \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot \gamma + \beta \cdot \gamma$

(AL3) $\forall_{\alpha, \beta, \gamma \in V}\; \alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$

(AL4) $\forall_{\alpha, \beta \in V}\; \forall_{c \in K}\; c(\alpha \cdot \beta) = \alpha \cdot (c\beta) = (c\alpha) \cdot \beta$

(AL5) $\exists_{\mathbf 1 \in V}\; \forall_{\alpha \in V}\; \mathbf 1 \cdot \alpha = \alpha \cdot \mathbf 1 = \alpha$

Można też powiedzieć, że algebrą liniową nazywa się przestrzeń liniową, która jest jednocześnie pierścieniem i ponadto spełnia aksjomat (AL4).

edytuj Przykłady

Każdy pierścień zawierający ciało $K\,$ jako podpierścień jest algebrą z jedynką nad ciałem $K\,$ .
Przestrzeń $K^n_n$ (przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n\,$ nad ciałem $K\,$ ) z działaniem mnożenia macierzy.
Przestrzeń $\operatorname{End } V$ (przestrzeń wszystkich endomorfizmów przestrzeni $V\,$ ) z określonym działaniem składania funkcji.

Algebra liniowa (struktura).html

edytuj Definicja

edytuj Przykłady

edytuj Zobacz też