Aksjomaty oddzielania.html
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

Przedstawieni graficzne aksjomatu oddzielania
Przedstawieni graficzne aksjomatu oddzielania

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

Warto zauważyć, że w początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T2 (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Niestety, nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

edytuj Ciąg główny aksjomatów oddzielania

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane Ti. Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy i wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu i wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów Ti jest ustalone.

Niech τ będzie topologią na zbiorze X. Powiemy, że przestrzeń topologiczna (X,τ) spełnia aksjomat:

  • T0, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów x,y\in X istnieje zbiór otwarty w X, który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;
  • T1, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów x,y\in X istnieje zbiór otwarty U\subseteq X taki, że x\in U, ale y\notin U;
  • T2, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów x,y\in X istnieją rozłączne zbiory otwarte U\subseteq X i V\subseteq X takie, że x\in U i y\in V;
  • T3, jeśli
X spełnia aksjomat T1 i dla każdego zbioru domkniętego F\subseteq X i dowolnego punktu x\in X\setminus F można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U,V\subseteq X takie, że x\in U i F\subseteq V;
X spełnia aksjomat T1 i dla każdego zbioru domkniętego F\subseteq X i dowolnego punktu x\in X\setminus F można znaleźć funkcję ciągłą f:X\longrightarrow [0,1] taką, że f(x) = 0 i f(y) = 1 dla wszystkich punktów y\in F;
  • T4, jeśli
X spełnia aksjomat T1 i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych E,F\subseteq X (czyli E\cap F=\emptyset ) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U,V\subseteq X takie, że E\subseteq U i F\subseteq V;
  • T5, jeśli
każda podprzestrzeń przestrzeni X spełnia aksjomat T4;
  • T6, jeśli
X spełnia aksjomat T4 i każdy domknięty podzbiór X jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić "przestrzeń spełnia aksjomat T0" mówimy po prostu, że jest T0. Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

edytuj Własności i przykłady

T_6\Rightarrow T_5\Rightarrow T_4\Rightarrow T_{3\frac{1}{2}}\Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0,

gdzie T_i\Rightarrow T_j należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat Ti spełnia także aksjomat Tj. Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

  • Aksjomaty T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3{1\over2}},T_5, T_6 są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność T4 nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu T5, czyli dziedzicznej normalności.
  • Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności T5,T6 są zaliczane do aksjomatów oddzielania:
Przestrzeń T1 X spełnia aksjomat T5 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów A,B\subseteq X takich, że A\cap{\rm cl}(B)=\emptyset={\rm cl}(A)\cap B istnieją zbiory otwarte U,V\subseteq X takie, że A\subseteq U, B\subseteq V i U\cap V=\emptyset
Przestrzeń T1 X spełnia aksjomat T6 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłacznych domkniętych zbiorów A,B\subseteq X istnieje funkcja ciągła f:X\longrightarrow [0,1] taka, że f − 1[{0}] = A i f − 1[{1}] = B.

edytuj Zobacz też
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.