Aksjomaty Zermelo-Fraenkela.html

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (w skrócie ZF) - powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez E. Zermelo w 1904 r., a uzupełniony i zmodyfikowany przez A. A. Fraenkla. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o pewnik wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

edytuj Spis aksjomatów

Dla uproszczenia zapisu używany będzie skrót $\exist ! yW(y)$ na oznaczenie formuły wyrażającej własność "istnieje dokładnie jeden taki $y$ , że zachodzi $W (y)$ ". Jedna z równoważnych (w sensie rachunku predykatów) definicji tego skrótu to:

$(\exist y)(\forall x)(W(x)\Leftrightarrow x=y)$ .

Aksjomat ekstensjonalności

Jeżeli zbiory

A

B

mają te same elementy, to są identyczne.

$\forall A \forall B (\forall x (x\in A\iff x\in B)\Rightarrow A=B)$

Aksjomat zbioru pustego

Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu.

$\exist X\forall y \neg(y\in X)$

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór o tej własności. Zbiór ten nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy przez $\emptyset$ .

Aksjomaty wyróżniania (nazywane również aksjomatem podzbiorów)

Dla każdego zbioru

B

istnieje zbiór

A

, złożony z tych i tylko tych elementów

x

zbioru

B

, które mają własność $\varphi$ .

$\forall p_1 ... \forall p_n \forall B \exist A \forall x (x\in A \iff (x\in B \wedge \varphi(x, B, p_1, ... , p_n)))$

Aksjomat pary

Dla dowolnych zbiorów

A

B

istnieje zbiór

C

, którego elementami są dokładnie zbiory

A

oraz

B

$\forall A\forall B\exist C\forall x(x\in C \iff (x=A \vee x=B))$

Aksjomat sumy

Dla dowolnej rodziny zbiorów

R

istnieje zbiór

U

, do którego należą dokładnie te zbiory

x

, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny

R

$\forall R\exist U \forall x(x\in U\iff \exist A (x\in A\wedge A\in R))$

Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru

X

istnieje zbiór

P

, którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru

X

$\forall X \exist P \forall Z (Z\in P \iff \forall x (x\in Z \Rightarrow x\in X))$

Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór induktywny.

$\exist X (\exist Y(Y\in X \wedge \forall y \neg(y\in Y))$

$\wedge \forall y (y\in X\Rightarrow \exist z (z\in X \wedge \forall x (x\in z\iff (x\in y \vee x=y)))))$

Istnieje wiele takich zbiorów. Iloczyn wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat wyboru

Dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów $\langle A_i: i\in I\rangle$ istnieje funkcja wyboru, to znaczy funkcja $f: I\rightarrow \bigcup_{i\in I} A_i$ taka, że $f(i)\in A_i$ dla wszystkich $i\in I$ .

$\forall R((\forall A(A\in R \Rightarrow A\neq \emptyset)$

$\wedge \forall A \forall B ((A\in R \wedge B\in R \wedge A\neq B) \Rightarrow \neg(\exist x (x\in A\wedge x\in B)))$

$\Rightarrow \exist S \forall A (A\in R \Rightarrow \exist ! y (y\in S\wedge e\in A)))$

Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku.

Aksjomaty zastępowania (słabszą jego wersją jest aksjomat wycinania).

Jeżeli dla każdego

x

istnieje dokładnie jeden

y

, dla którego zachodzi

Θ(x, y)

, to dla dowolnego zbioru

X

istnieje taki zbiór

Y

, że $\forall y (y\in Y \iff \exist x\in X (\Theta (x,y)))$ .

$\forall p_1 \forall p_n \forall X (\forall x \exist ! y \Theta(x, y, X, p_1, ... , p_n)$

$\Rightarrow \exist Y \forall y (y\in Y \iff \exist x (x\in X \wedge \Theta (x, y, X, p_1, ... , p_n))))$

Aksjomat regularności (ufundowania)

Każdy niepusty zbiór

X

ma element rozłączny z

X

$\forall X(X\neq \emptyset \Rightarrow \exist y (y\in X \wedge \neg(\exist z(z\in X \wedge z\in y))))$

Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów, czasem rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

edytuj Bibliografia

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, Warszawa 2005, Wydawnictwo Naukowe PWN, ISBN 83-01-14415-7.
Agnieszka Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, Warszawa 1979, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, ISBN 83-01-00756-7.